Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 26 стр.

                                                 - 26 -
                                         Сочетания
      Определение. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его под-
множество, состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элемен-
тов (коротко: сочетанием из n по k ).
      Таким образом, сочетания из n по k – это все k -элементные подмножества n -
элементного множества, причем различными подмножествами считаются только те, которые
имеют неодинаковый состав элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга только
порядком следования элементов, не считаются различными.
      Пример 12. Сочетания множества A = {a, b, c, d } из 4-х элементов по 3 имеют сле-
дующий вид:
                                      abc , abd , acd , bcd .
      Число всех сочетаний из n по k обозначается символом Cnk .13 В математической ли-
тературе встречается и обозначение k .   ()
                                          n


                             n!
       Теорема 3. Cnk =               .
                        k !(n − k ) !
       ∆ Сначала образуем все возможные неупорядоченные подмножества n -элементного
множества, содержащие k элементов. Их число равно Cnk . Затем из каждого такого подмно-
жества перестановкой его элементов получим все упорядоченные подмножества, которых
будет, очевидно, в k ! раз больше, так как каждое k -элементное множество можно упорядо-
чить k ! способами. Итак, A kn = k !Cnk , откуда и следует доказываемая формула. ▲
       Пример 13. В скольких точках пересекаются диагонали выпуклого восьмиугольника,
если никакие три из них не пересекаются в одной точке?
       ∆ Каждой точке пересечения двух диагоналей соответствует 4 вершины восьмиуголь-
ника, а каждым 4-м вершинам восьмиугольника соответствует одна точка пересечения диа-
гоналей (а именно, точка пересечения диагоналей, попарно соединяющих эти вершины). По-
этому число всех точек пересечения равно числу способов, которыми среди 8-ми вершин
                                      8!
можно выбрать 4 вершины: C84 =                = 70 . ▲
                                 4 !(8 − 4) !
       Пример 14. Суд присяжных г. Глупова приговорил гражданина N за сокрытие доходов
к тюремному заключению на 7 лет. Этот приговор вынесен в соответствии с законом г. Глу-
пова, согласно которому обвиняемый по данной статье получает столько лет, сколько при-
сяжных решат, что он виновен. Каково число всех возможных вариантов голосования при-
сяжных, если их всего 12? Ответ. C127 .
       Пример 15. Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две под-
группы, в одной из которых должно быть не более пяти, а во второй – не более девяти чело-
век?
Ответ. Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую: C123 + C124 + C125 = 1507 .

                                                    Существует еще одна причина высокой репутации
                                                    математики: именно математика дает … наукам
                                                    определенную меру уверенности в выводах, достичь
                                                    которой без математики они не могут.
                                                                                         А. Эйнштейн
                                     Лекция 5
                              ВЕРОЯТНОСТЬ (продолжение)
13
  C – первая буква английского слова «combination» – сочетание. Этот вид комбинаций дал название всему
разделу математики.