Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 27 стр.

                                             - 27 -
       1. Операции над событиями. Поскольку математической моделью событий является
множество, т.е. «событие» и «множество» отождествляются, то операции над событиями бу-
дут точно такими же, как и ранее введённые для произвольных множеств. Для действий над
событиями нам потребуются следующие операции (над множествами): объединение – ∪ ,
пересечение – ∩ , разность – \ , дополнение – .
       Здесь следует отметить специфичность терминологии и обозначений теории вероят-
ностей. Операции объединения и пересечения здесь носят название суммы и произведения (и
обозначаются привычно: + и ⋅ ), разность остается разностью (но обозначается «по-
старому» − ), а вместо термина «дополнение события» употребляют термин «противопо-
ложное событие».
       Суммой событий A и B называется такое третье событие A + B , которое заключа-
ется в наступлении хотя бы одного из событий A или B .
       Произведением двух событий A и B называется такое третье событие AB , которое
заключается в одновременном наступлении событий A и B .
       События A и B называют несовместными, если они не могут произойти одновре-
менно, т.е. их произведение AB – невозможное событие. В теории вероятностей это обо-
значают так: AB = ∅ .
       Разностью событий A и B называется такое третье событие A − B , которое заклю-
чается в том, что произошло событие A и не произошло событие B .
       Событие A называется противоположным событию A , если оно происходит тогда и
только тогда, когда не происходит событие A . Заметим, что A = Ω − A .
       Понятие суммы и произведения событий переносятся на бесконечные последователь-
ности событий.
                                ∞
       Осуществление события    ∑ An = A1 + A2 + ... + An + ... означает, что произошло, по
                               n =1
крайней   мере,   одно   из   событий   An     ( n = 1,2,... ).   Осуществление   же   события
 ∞
∏ An = A1 A2 ... An ... означает, что произошли одновременно все события An .
n =1
       Мы будем записывать A ⊂ B и говорить, что событие A влечет за собой событие
B , если из наступления события A следует наступление события B . Если одновременно
 A ⊂ B и B ⊂ A , то будем говорить, что события A и B равносильны или эквивалентны
и писать A = B .
       2. Аксиоматическое определение вероятности. Определив несколько способов вы-
числения вероятности (классический, геометрический, статистический), мы видим ряд огра-
ничений в этих подходах. И, – самое главное, – ни один из этих способов не дает ответа на
вопрос «Что же такое вероятность?» В настоящее время общепризнанным считается аксио-
матический подход к определению вероятности, который лишен ограничений, присущих
классическому и другим «определениям».
       Аксиоматическое обоснование вероятностной меры было осуществлено выдающимся
советским математиком А.Н. Колмогоровым (и изложено в его книге «Основные понятия
теории вероятностей», вышедшей в 1936 г.). Это построение было выполнено в виде 2-х
групп аксиом:
       I группа: аксиомы, постулирующие, какой должна быть область определения функции
вероятности;
       II группа: аксиомы, определяющие вероятность как функцию от случайного события
с наложенными на нее специальными свойствами.