Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 28 стр.

                                                 - 28 -
       Замечание. Поскольку вероятность вводится как функция от случайного события, то
как и функция действительной переменной обычно определяется не для всех действитель-
ных чисел, а только для их части, называемой областью определения, так и вероятность тоже
не всегда удается определить для любых подмножеств (случайных событий) множества Ω .
Приходится ограничиваться некоторым классом подмножеств, от которого естественно тре-
бовать замкнутость относительно операций, определённых для событий.
       Дадим краткое изложение аксиом, определяющих функцию вероятности.
       Определение. Пусть Ω – пространство элементарных событий, соответствующих не-
которому стохастическому14 эксперименту. Назовём систему Φ подмножеств множества
Ω алгеброй множеств, если:
       1) Ω ∈ Φ ;

             A ∈ Φ следует A ∈ Φ ;
          2) из
             A, B ∈ Φ следует A + B ∈ Φ и AB ∈ Φ .
          3) из
Из 1) и 2) следует, что ∅ ∈ Φ .
      Тогда элементы Φ называют событиями, а систему Φ – алгеброй событий.
      Определение. Алгебра событий Φ называется σ -алгеброй (читается: сигма-
алгебра), если из соотношения An ∈ Φ ( n = 1,2 ,... ) следует, что
                                         ∞                 ∞
                                        ∑ An ∈ Φ      и   ∏ An ∈ Φ    ,
                                        n =1              n =1
т.е. это алгебра, в которой сумма и произведение бесконечного числа событий, взятых из
Φ , снова принадлежат Φ .
        Таким образом, областью определения функции вероятности аксиоматически «назна-
чается» σ -алгебра событий, построенная как система подмножеств множества Ω .
        Теперь мы можем ввести аксиоматическое определение вероятности события A .
        Определение. Числовая функция P( A ) , определённая на системе Φ подмножеств
множества Ω , называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:
     А1. Φ является σ -алгеброй событий.
     А2. P( A ) ≥ 0 для всех A ∈ Φ (неотрицательность P ).
          А3.   P( Ω ) = 1 (нормированность P ).
      А4.       P( A + B ) = P( A ) + P( B ) , если AB = ∅
                                                     (аддитивность15 P ).
      Для решения теоретических задач, связанных с бесконечными последовательностями
событий, приведённые аксиомы дополняются аксиомой непрерывности:
      А5. Для любой убывающей последовательности A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ... событий
                        ∞
из    Φ   такой, что   ∏ An = ∅ имеет место равенство nlim P( An ) = 0 .
                       n =1                             →∞

          Определение. Тройку объектов   ( Ω , Φ , P ) , где Ω – пространство элементарных
событий, Φ –         σ -алгебра подмножеств Ω , называемых событиями, P – числовая функ-
ция, определенная на множестве Φ и удовлетворяющая аксиомам А2–А5, называют веро-
ятностным пространством.
       3. Логические следствия из аксиом вероятности. Из аксиом А2–А5 нетрудно вы-
вести следующие свойства вероятности:
       1) Если A ⊂ B , то P( B − A ) = P( B ) − P( A ) .

14
     СТОХАСТИЧЕСКИЙ [фр. stochastique, нем. stochastisch < греч. stochasis догадка] – случайный.
15
     От англ. to add – прибавлять, складывать.