ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
- 30 -
66
65
1
66
1
330
5
4
11
4
5
=−=⇒=== )A(P)A(P
C
C
)A(P
. ▲
Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло
другое событие или нет. Например, вероятность своевременного выпуска машины зависит от
поставки комплектующих изделий. Если эти изделия уже поставлены, то значение искомой
вероятности будет одним. Если же она определяется до поставки комплектующих, то ее зна-
чение, очевидно, будет
другим. Еще пример: вероятность того, что при бросании игральной
кости выпадет «шестерка» изменится, если apriori известно, что выпало четное число очков.
Вероятность события
A , вычисленная при условии, что имело место другое событие
B
, называется условной вероятностью события
A
при условии, что произошло событие
B
(или, просто, при условии
B
), и обозначается )(AP
B
или )|( BA
P
. Отметим, что условная
вероятность
)(AP
B
существует, если 0)( >B
P
.
Теорема умножения вероятностей
. Вероятность произведения двух событий опреде-
ляется формулой
)()()()()( APBPBPAPABP
BA
=
=
.
∆ Докажем теорему для случая, когда применимо классическое определение. Предпо-
ложим, что из
n
возможных элементарных исходов событию A благоприятствуют
m
исхо-
дов, из которых
k
исходов благоприятствуют событию
B
. Тогда вероятность события
A
будет
n
m
AP
=)( , условная вероятность события B при условии A будет
m
k
BP
A
=)( .
Произведению событий
A
и
B
благоприятствуют только те исходы, которые благо-
приятствуют и событию
A, и событию B одновременно, т.е.
k
исходов. Поэтому вероят-
ность произведения событий
A
и B
n
k
ABP
=)( .
Умножив числитель и знаменатель этой дроби на
m
, получим
)()()( BPAP
m
k
n
m
mn
mk
ABP
A
=⋅== .
Аналогично доказывается и формула
)()()( APBPABP
B
=
. ▲
Пример 2
. На склад поступило 35 холодильников. Известно, что пять холодильников с
дефектами, но неизвестно – какие. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодиль-
ника будут с дефектами.
Решение
. Вероятность того, что первый выбранный холодильник будет с дефектом,
находится как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных
исходов:
7
1
35
5
)(
==AP
.
Если первый холодильник оказался с дефектом, условная вероятность того, что и вто-
рой будет с дефектом, определяется на основе соотношения
17
2
34
4
)(
==BP
A
.
Искомая вероятность
02,0
17
2
7
1
)()()( ≈⋅== BPAPABP
A
.
- 30 -
C54 5 1 65
P( A ) = 4
= = ⇒ P( A ) = 1 − P( A ) = . ▲
C11 330 66 66
Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло
другое событие или нет. Например, вероятность своевременного выпуска машины зависит от
поставки комплектующих изделий. Если эти изделия уже поставлены, то значение искомой
вероятности будет одним. Если же она определяется до поставки комплектующих, то ее зна-
чение, очевидно, будет другим. Еще пример: вероятность того, что при бросании игральной
кости выпадет «шестерка» изменится, если apriori известно, что выпало четное число очков.
Вероятность события A , вычисленная при условии, что имело место другое событие
B , называется условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B
(или, просто, при условии B ), и обозначается PB ( A) или P ( A | B ) . Отметим, что условная
вероятность PB ( A) существует, если P ( B ) > 0 .
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий опреде-
ляется формулой
P ( AB) = P( A) PA ( B) = P( B) PB ( A) .
∆ Докажем теорему для случая, когда применимо классическое определение. Предпо-
ложим, что из n возможных элементарных исходов событию A благоприятствуют m исхо-
дов, из которых k исходов благоприятствуют событию B . Тогда вероятность события A
m k
будет P ( A) = , условная вероятность события B при условии A будет PA ( B ) = .
n m
Произведению событий A и B благоприятствуют только те исходы, которые благо-
приятствуют и событию A , и событию B одновременно, т.е. k исходов. Поэтому вероят-
ность произведения событий A и B
k
P( AB) = .
n
Умножив числитель и знаменатель этой дроби на m , получим
mk m k
P ( AB) = = ⋅ = P( A) PA ( B) .
mn n m
Аналогично доказывается и формула P ( AB) = P ( B ) PB ( A) . ▲
Пример 2. На склад поступило 35 холодильников. Известно, что пять холодильников с
дефектами, но неизвестно – какие. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодиль-
ника будут с дефектами.
Решение. Вероятность того, что первый выбранный холодильник будет с дефектом,
находится как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных
исходов:
5 1
P ( A) = = .
35 7
Если первый холодильник оказался с дефектом, условная вероятность того, что и вто-
рой будет с дефектом, определяется на основе соотношения
4 2
PA ( B) = = .
34 17
Искомая вероятность
1 2
P( AB) = P( A) PA ( B) = ⋅ ≈ 0,02 .
7 17
