Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 31 стр.

                                                          - 31 -
         Если при наступлении события A вероятность события B не меняется, то события
Aи B       называются независимыми. В случае независимых событий вероятность их произве-
дения равна произведению вероятностей этих событий:
                                        P( AB) = P ( A) P( B) .
Последнее равенство принимают за определение независимости для двух событий.
         Теорему умножения вероятностей легко обобщить на любое конечное число событий.
         Теорема умножения для любого конечного числа событий. Пусть события
A1 , A2 ,..., An таковы, что P ( A1 A2 ... An−1 ) > 0 . Тогда
                       P( A1 A2 ... An ) = P( A1 ) PA ( A2 ) PA A ( A3 )...PA A ... A ( An ) .
                                                      1            1   2       1   2   n−1

      ∆ Для доказательства этой теоремы можно использовать метод математической ин-
дукции (по n , т.е. по числу сомножителей). ▲
      Понятие независимости для набора событий, количество которых больше двух, фор-
мулируется следующим образом.
      Определение. События Ai , i ∈ I , где I – конечное или счетное множество, называ-
ются независимыми в совокупности, если для любого конечного набора различных индексов
i1 , i2 ,..., ik ∈ I
                                P( Ai Ai ... Ai ) = P( Ai ) P( Ai )...P( Ai ) .
                                      1   2     k              1           2       k

        Для независимых в совокупности событий теорема 3 (умножения вероятностей) при-
нимает вид:
                              P ( A1 A2 ... An ) = P( A1 ) P ( A2 ) P( A3 )...P( An ) .
Пояснить определение на примере трех (независимых в совокупности) событий A , B и C .
        Пример 3. Найти вероятность одновременного поражения цели при залповой стрельбе
тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями соответственно равны 0,9, 0,8
и 0,7 (события A , B и C ).
        Решение. Поскольку события A , B и C являются независимыми в совокупности, то
искомая вероятность вычисляется следующим образом:
                        P ( ABC ) = P( A) P( B) P(C ) = 0,9 ⋅ 0,8 ⋅ 0,7 = 0,504 .
        Пример 4. В условиях примера 2 найти вероятность поражения цели (хотя бы одного
попадания) при залповой стрельбе трех орудий.
        Решение. Пусть событие D ={хотя бы одно из орудий попало в цель}. Тогда противо-
положное событие D ={ни одно из орудий не попало в цель}, следовательно, D = A B C ,
где события A , B и C означают попадание в цель каждого из орудий. Поскольку A , B и
C – независимые в совокупности события, то независимы также и соответствующие им про-
тивоположные                 события               A,            B             и        C. Поэтому
P ( D ) = P ( A ) P ( B ) P (C ) = 0,1 ⋅ 0,2 ⋅ 0,3 = 0,006 . Теперь находим искомую вероятность:
                          P( D ) = 1 − P( D ) = 1 − 0,006 = 0,994 .
       Следствием двух основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и теоре-
мы умножения – является формула полной вероятности.
       Определение. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испыта-
ния появление хотя бы одного из них является достоверным событием. Например, если про-
изведен выстрел по мишени (испытание), то обязательно будет либо попадание, либо про-
мах; эти два события образуют полную группу. Другими словами, события B1 , B2 ,..., Bn об-
разуют полную группу тогда и только тогда, когда                   B1 + B2 + ... + Bn = Ω .