Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

- 29 -
A
B
2) Если
B
A
⊂ , то
)
B
(
P
)
A
(
P
≤ .
3)
)A(P)A(P
−
=
1 .
4)
0
=
∅ )
(
P
.
5)
10
≤
≤
)
A
(
P
для любого события
∈
A
.
6)
Имеет место конечная аддитивность: если события
n
A,...,A,A
21
попарно несо-
вместны (т.е.
∅
≠
ji
AA для любых индексов
j
i
≠
), то
)A(P...)A(P)A(P)A...AA(P
nn
+
+
+
=
+
+
+
2121
,
или, в краткой форме записи,
∑∑
==
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
k
k
n
k
k
)A(PAP
11
.
Доказательство свойств 1)-6)
. 1) Так как
)
A
B
(
A
B
−
+
=
и
∅=−
)
A
B
(
A
, то по
аксиоме А4 получаем
)
A
B
(
P
)
A
(
P
)
B
(
P
−
+=
.
2) Это свойство следует из свойства 1).
3) Следует из аксиом А3 и А4, так как
Ω
A
A
=
+
,
∅
=
A
A
.
4) Следует из свойства 3) и аксиомы А3.
5) Следует из свойств 2), 4) и аксиомы А3, так как для любого события
A
выполняет-
ся соотношение
Ω
A
⊂⊂∅
.
6) Следует из аксиомы А4. Доказывается индукцией по числу слагаемых.
4. Основные теоремы теории вероятностей. Аксиому А4 иногда называют теоремой
сложения вероятностей для двух несовместных событий. Для произвольных событий теоре-
ма сложения формулируется следующим образом.
Теорема сложения вероятностей
. Для любых событий
A
и
B
справедливо равенство
)
A
B
(
P
)
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P
−
+
=
+
.
Доказательство
. Имеем
)
A
B
B
(
A
B
A
−
+
=
+
(справедливость этого равенства легко проверяется на
диаграммах Эйлера).
В силу аксиомы А4
)
A
B
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P
−
+=
+
,
а по свойству 1)
)
A
B
(
P
)
B
(
P
)
A
B
B
(
P
−=
−
.
Пример 1
. Из урны, содержащей 5 черных и 6 белых шаров, наугад вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров имеется хотя бы один белый шар.
∆ Введем событие
А={среди вынутых шаров хотя бы один белый}. Этому событию
удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 черных (событие
В
1
), 2 белых и 2
черных (событие
В
2
), 3 белых и 1 черный (событие В
3
), 4 белых (событие В
4
). Тогда событие
А можно представить в виде
4321
BBBBA
+
+
+
=
.
Поскольку события
В
1
,…, В
4
попарно несовместны, вероятность события А можно вычис-
лить, используя свойство 6):
)B(P...)B(P)A(P
41
+
+
=
. Но в этом случае пришлось бы
вычислять вероятности
4321,,,k),B(P
k
=
. Чтобы избежать сложных вычислений в по-
добных случаях вычисляют вероятность противоположного события
A
={среди вынутых
шаров нет ни одного белого}. Пользуясь классическим определением вероятности, получаем 
                                            - 29 -
      2) Если A ⊂ B , то P( A ) ≤ P( B ) .
      3) P( A ) = 1 − P( A ) .
      4) P( ∅ ) = 0 .
      5) 0 ≤ P( A ) ≤ 1 для любого события A ∈ Φ .
      6) Имеет место конечная аддитивность: если события        A1 , A2 ,..., An попарно несо-
          вместны (т.е.Ai Aj ≠ ∅ для любых индексов i ≠ j ), то
                    P( A1 + A2 + ... + An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An ) ,
          или, в краткой форме записи,
                                       ⎛ n ⎞ n
                                     P⎜ ∑ Ak ⎟ = ∑ P( Ak ) .
                                       ⎝ k =1 ⎠ k =1
      Доказательство свойств 1)-6). 1) Так как B = A + ( B − A ) и A( B − A ) = ∅ , то по
аксиоме А4 получаем P( B ) = P( A ) + P( B − A ) .
       2) Это свойство следует из свойства 1).
       3) Следует из аксиом А3 и А4, так как A + A = Ω , AA = ∅ .
       4) Следует из свойства 3) и аксиомы А3.
       5) Следует из свойств 2), 4) и аксиомы А3, так как для любого события A выполняет-
ся соотношение ∅ ⊂ A ⊂ Ω .
       6) Следует из аксиомы А4. Доказывается индукцией по числу слагаемых.
       4. Основные теоремы теории вероятностей. Аксиому А4 иногда называют теоремой
сложения вероятностей для двух несовместных событий. Для произвольных событий теоре-
ма сложения формулируется следующим образом.
       Теорема сложения вероятностей. Для любых событий A и B справедливо равенство
                             P( A + B ) = P( A ) + P( B ) − P( AB ) .
       Доказательство. Имеем A + B = A + ( B − AB )
(справедливость этого равенства легко проверяется на
диаграммах Эйлера).
                                                                                 B
       В силу аксиомы А4                                          A
                P( A + B ) = P( A ) + P( B − AB ) ,
а по свойству 1)
             P( B − AB ) = P( B ) − P( AB ) .
       Пример 1. Из урны, содержащей 5 черных и 6 белых шаров, наугад вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров имеется хотя бы один белый шар.
       ∆ Введем событие А={среди вынутых шаров хотя бы один белый}. Этому событию
удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 черных (событие В1), 2 белых и 2
черных (событие В2), 3 белых и 1 черный (событие В3), 4 белых (событие В4). Тогда событие
А можно представить в виде
                                     A = B1 + B2 + B3 + B4 .
Поскольку события В1,…, В4 попарно несовместны, вероятность события А можно вычис-
лить, используя свойство 6): P( A ) = P( B1 ) + ... + P( B4 ) . Но в этом случае пришлось бы
вычислять вероятностиP( Bk ), k = 1,2 ,3 ,4 . Чтобы избежать сложных вычислений в по-
добных случаях вычисляют вероятность противоположного события A ={среди вынутых
шаров нет ни одного белого}. Пользуясь классическим определением вероятности, получаем

Страницы