Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

- 32 -
Теорема
(формула полной вероятности). Пусть
n
BBB ,...,,
21
– полная группа попарно
несовместных событий (гипотез). Тогда вероятность события
A, появление которого
возможно в том же испытании, может быть вычислена по формуле
)()()()(...)()()()()(
1
21
21
APBPAPBPAPBPAPBPAP
n
i
BiBnBB
in
∑
=
=+++= .
∆ Из определения полной группы попарно несовместных событий следует разложение
события
A
на сумму попарно несовместных событий:
nn
AB...ABAB)B...BB(AΩAA +
+
+
=
+
+
+=
=
2121
.
Поэтому по свойству 6) (т.е. по теореме сложения для попарно несовместных событий) по-
лучаем
∑
=
=
n
i
i
)AB(P)A(P
1
.
Применяя к каждому слагаемому
)AB(P
i
теорему умножения, получаем формулу полной
вероятности. ▲
Замечание 1. В условиях теоремы появление события
A
возможно лишь при наступ-
лении одного из событий
i
B .
Замечание 2. В условиях теоремы справедливо равенство
1)(...)()(
21
=
+
+
+
n
BPBPBP .
Замечание 3. События
i
B
, образующие полную группу попарно несовместных собы-
тий, называют гипотезами, так как заранее неизвестно, какое из них наступит
Пример 5
. В первой урне находятся 4 белых и 5 черных шаров, во второй – 7 белых и
3 черных. Из второй урны наугад взяли один шар и переложили его в первую урну. Найти
вероятность того, что наудачу извлеченный после этого из первой урны шар будет белым
(событие
A
).
Решение
. Рассмотрим события:
1
B
={из второй урны в первую переложен белый шар};
2
B ={из второй урны в первую переложен черный шар}.
Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий (
Ω=+
21
BB ,
∅=
21
BB
) (слово «попарно» можно не произносить: их всего два). Их вероятности вычис-
ляются как вероятности появления соответственно белого и черного шаров при извлечении
наугад одного шара из второй урны:
7,0)(
1
=
BP
и
3,0)(
2
=
BP
. Условные вероятности из-
влечения из первой урны белого шара (событие
A
) при добавлении туда белого или черного
шара из второй урны соответственно равны
5,0)(
1
=
AP
B
и 4,0)(
2
=
AP
B
. Искомая вероят-
ность находится по формуле полной вероятности при
2
=
n
:
47,04,03,05,07,0)()()()()(
21
21
=
⋅
+
⋅
=
+
=
APBPAPBPAP
BB
.
Рекомендуемая литература
1. Богатов Д.Ф., Богатов Ф.Г. Математика для юристов в вопросах и ответах. Учебное посо-
бие для образовательных учреждений юридического профиля. – М.: Издательство ПРИОР,
2001. – 272 с.
2. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. –
СПб.: Издательство «Лань», 2002. – 256 с.
3. Воронов М.В., Мещерякова Г.П. Математика для студентов
гуманитарных факультетов/
Серия «Учебники, учебные пособия». – Ростов н/Д: Феникс, 2002. – 384 с. 
                                               - 32 -
      Теорема (формула полной вероятности). Пусть B1 , B2 ,..., Bn – полная группа попарно
несовместных событий (гипотез). Тогда вероятность события A , появление которого
возможно в том же испытании, может быть вычислена по формуле
                                                                                 n
           P ( A) = P( B1 ) PB ( A) + P( B2 ) PB ( A) + ... + P( Bn ) PB ( A) = ∑ P( Bi ) PB ( A) .
                             1                  2                      n                    i
                                                                                i =1

      ∆ Из определения полной группы попарно несовместных событий следует разложение
события A на сумму попарно несовместных событий:
                 A = AΩ = A( B1 + B2 + ... + Bn ) = AB1 + AB2 + ... + ABn .
Поэтому по свойству 6) (т.е. по теореме сложения для попарно несовместных событий) по-
лучаем
                                                     n
                                      P( A ) = ∑ P( ABi ) .
                                                    i =1
Применяя к каждому слагаемому P( ABi ) теорему умножения, получаем формулу полной
вероятности. ▲
      Замечание 1. В условиях теоремы появление события A возможно лишь при наступ-
лении одного из событий Bi .
      Замечание 2. В условиях теоремы справедливо равенство
                                P ( B1 ) + P( B2 ) + ... + P( Bn ) = 1 .
       Замечание 3. События Bi , образующие полную группу попарно несовместных собы-
тий, называют гипотезами, так как заранее неизвестно, какое из них наступит
       Пример 5. В первой урне находятся 4 белых и 5 черных шаров, во второй – 7 белых и
3 черных. Из второй урны наугад взяли один шар и переложили его в первую урну. Найти
вероятность того, что наудачу извлеченный после этого из первой урны шар будет белым
(событие A ).
       Решение. Рассмотрим события:
 B1 ={из второй урны в первую переложен белый шар};
B2 ={из второй урны в первую переложен черный шар}.
Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий ( B1 + B2 = Ω ,
B1 B2 = ∅ ) (слово «попарно» можно не произносить: их всего два). Их вероятности вычис-
ляются как вероятности появления соответственно белого и черного шаров при извлечении
наугад одного шара из второй урны: P ( B1 ) = 0,7 и P ( B2 ) = 0,3 . Условные вероятности из-
влечения из первой урны белого шара (событие A ) при добавлении туда белого или черного
шара из второй урны соответственно равны PB1 ( A) = 0,5 и PB2 ( A) = 0,4 . Искомая вероят-
ность находится по формуле полной вероятности при n = 2 :
             P( A) = P( B1 ) PB ( A) + P( B2 ) PB ( A) = 0,7 ⋅ 0,5 + 0,3 ⋅ 0,4 = 0,47 .
                                 1                   2




                                 Рекомендуемая литература
1. Богатов Д.Ф., Богатов Ф.Г. Математика для юристов в вопросах и ответах. Учебное посо-
бие для образовательных учреждений юридического профиля. – М.: Издательство ПРИОР,
2001. – 272 с.
2. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. –
СПб.: Издательство «Лань», 2002. – 256 с.
3. Воронов М.В., Мещерякова Г.П. Математика для студентов гуманитарных факультетов/
Серия «Учебники, учебные пособия». – Ростов н/Д: Феникс, 2002. – 384 с.

Страницы