ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие гео-
метрические образы – линии и поверхности (а также их частный случай, прямые
и плоскости) исследуются средствами алгебры на основе метода координат.
Объектом исследования в аналитической геометрии являются линии и поверхно-
сти, задаваемые алгебраическими уравнениями не выше второго порядка. Про-
странства геометрических векторов
2
V и
3
V
, которые рассматриваются в анали-
тической геометрии, являются частным случаем (часто говорят, реализацией)
евклидовых пространств, изучаемых линейной алгеброй.
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Результатом перемножения двух векторов может быть не только скаляр, но
и вектор, который может умножаться на третий вектор.
1. Векторное произведение. Понятие векторного произведения, о котором
пойдет речь в этом пункте, является объектом изучения теории трехмерного евк-
лидова пространства. В евклидовом пространстве, число измерений которого от
-
лично от трех, не имеется аналогий этого понятия.
Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них
считается первым, какой – вторым и какой – третьим. При записи тройки векто-
ров мы всегда будем располагать эти векторы в порядке их следования (если для
нас будет небезразличен порядок набора). Так, запись
b
,
a
,
c
означает, что пер-
вым элементом тройки является вектор
b
, вторым – вектор
a
и третьим – вектор
c
.
Упорядоченная тройка некомпланарных
1
векторов
a
,
b
,
c
называется
правой, если, находясь внутри трехгранного угла, образованного приведенными к
общему началу векторами
a
,
b
,
c
, мы видим кратчайший поворот от
a
к
b
и
от него к
c совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка
называется левой.
Удобное практическое правило определения правой тройки: упорядоченная
тройка некомпланарных векторов
a , b , c является правой, если после приведе-
ния к общему началу векторы располагаются так, как могут быть расположены
соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки.
Определение
. Векторным произведением вектора
a
на вектор
b
называет-
ся вектор
c
, обозначаемый символом
ba
×
(или ],[ ba ) и удовлетворяющий
следующим трем требованиям:
1) длина вектора
c равна
ϕ
sin|||| ba
⋅
, где
ϕ
– угол между векторами a
и
b ;
2) вектор
c
ортогонален плоскости векторов
a
и
b
(
ac⊥
,
bc⊥
);
3) векторы
a
,
b
,
c
образуют правую тройку векторов.
1
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллель-
ных плоскостях.
3
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие гео-
метрические образы – линии и поверхности (а также их частный случай, прямые
и плоскости) исследуются средствами алгебры на основе метода координат.
Объектом исследования в аналитической геометрии являются линии и поверхно-
сти, задаваемые алгебраическими уравнениями не выше второго порядка. Про-
странства геометрических векторов V2 и V3 , которые рассматриваются в анали-
тической геометрии, являются частным случаем (часто говорят, реализацией)
евклидовых пространств, изучаемых линейной алгеброй.
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Результатом перемножения двух векторов может быть не только скаляр, но
и вектор, который может умножаться на третий вектор.
1. Векторное произведение. Понятие векторного произведения, о котором
пойдет речь в этом пункте, является объектом изучения теории трехмерного евк-
лидова пространства. В евклидовом пространстве, число измерений которого от-
лично от трех, не имеется аналогий этого понятия.
Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них
считается первым, какой – вторым и какой – третьим. При записи тройки векто-
ров мы всегда будем располагать эти векторы в порядке их следования (если для
нас будет небезразличен порядок набора). Так, запись b , a , c означает, что пер-
вым элементом тройки является вектор b , вторым – вектор a и третьим – вектор
c.
Упорядоченная тройка некомпланарных1 векторов a , b , c называется
правой, если, находясь внутри трехгранного угла, образованного приведенными к
общему началу векторами a , b , c , мы видим кратчайший поворот от a к b и
от него к c совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка
называется левой.
Удобное практическое правило определения правой тройки: упорядоченная
тройка некомпланарных векторов a , b , c является правой, если после приведе-
ния к общему началу векторы располагаются так, как могут быть расположены
соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки.
Определение. Векторным произведением вектора a на вектор b называет-
ся вектор c , обозначаемый символом a × b (или [a , b ] ) и удовлетворяющий
следующим трем требованиям:
1) длина вектора c равна | a | ⋅ | b | sin ϕ , где ϕ – угол между векторами a
иb;
2) вектор c ортогонален плоскости векторов a и b ( c⊥a , c ⊥b );
3) векторы a , b , c образуют правую тройку векторов.
1
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллель-
ных плоскостях.
