Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 4 стр.

                                              4

      Требования 1 и 2 определяют вектор c с точностью до двух взаимно про-
тивоположных направлений; требование 3 отбирает одно из этих двух направле-
ний. В случае, когда a и b коллинеарные, тройка a , b , c является компланар-
ной, но в этом случае уже из требования 1 следует, что c = 0 .

                                          c = a ×b




                                          ϕ                b
                                    a

     Понятие векторного произведения (так же, как и скалярное произведение2)
родилось в механике. Если вектор b изображает приложенную в некоторой точ-
ке M силу, а вектор a идет из некоторой точки O в точку M , то вектор
c = a × b представляет собой момент силы b относительно точки O .
                       Свойства векторного произведения
1. a × b = 0 ⇔ векторы a и b – коллинеарны.
2. a × b = − a × b (антикоммутативность).
3.    λa × b = λ (a × b ) , a × λb = λ (a × b ) ∀λ ∈ R (однородность).
4. (a + b ) × c = a × c + b × c ,
      a × (b + c ) = a × b + a × c (дистрибутивность).
         Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
    Найдем векторные произведения базисных ортов3 i , j ,                    k.   Результаты
можно записать в следующую таблицу:
                       ×            i             j           k
                        i          0              k        −j
                         j        −k              0           i
                       k           j              −i          0



2
    Механический смысл скалярного произведения: если вектор    a   изображает силу, точка при-
ложения которой перемещается из начала в конец вектора   b , то работа w указанной силы оп-
ределяется равенством w = a b =| a | ⋅ | b | cos ϕ .
3
 Ортом произвольного ненулевого вектора называют единичный вектор, имеющий одинако-
вое направление с данным вектором.