Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 6 стр.

                                                    6

Δ   В силу коммутативности скалярного произведения (a × b )c = c (a × b ) , по-
этому достаточно доказать, что a (b × c ) = c (a × b ) . Но эти числа равны по мо-
дулю (поскольку их модули совпадают с объемом параллелепипеда, построенно-
го на векторах a , b , c ), а знаки этих чисел совпадают, т.к. упорядоченные трой-
ки a , b , c и c , a , b имеют одинаковую ориентацию. ▲
      Доказанное равенство a (b × c ) = (a × b )c позволяет обозначать смешан-
ное произведение векторов a , b , c символом ( a , b , c ) , не указывая при этом,
какие именно два вектора (первые или последние) перемножаются векторно.
2. Величина векторного произведения не изменяется при циклической переста-
   новке сомножителей:
                            (a , b , c ) = (c , a , b ) = (b , c , a ) =
                            = −(b , a , c ) = −(c , b , a ) = −(a , c , b ).
Δ  Модули всех выписанных смешанных произведений совпадают. Достаточно
проследить за ориентацией троек. ▲
3. (a , b , c ) = 0 ⇔ векторы a , b , c компланарны.
4. Смешанное произведение линейно по каждому из сомножителей. В частности,
                    (λa1 + μa2 , b , c ) = λ (a1 , b , c ) + μ (a2 , b , c ) .
Δ   Применяя свойство линейности скалярного произведения, получим
        (λa1 + μa2 , b , c ) = (λa1 + μa2 )(b × c ) = λa1 (b × c ) + μa2 (b × c ) =
        = λ (a1 , b , c ) + μ (a2 , b , c ) .
      Аналогичные равенства справедливы и для остальных сомножителей. В са-
мом деле, мы можем переставить интересующий нас сомножитель на первое ме-
сто, раскрыть скобки, а затем выполнить обратную перестановку. ▲
     Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
      Теорема. Если векторы a , b , c заданы своими координатами:
a = {x1 , y1 , z1} , b = {x2 , y2 , z 2 }, c = {x3 , y3 , z3} , то смешанное произведение
(a , b , c ) равняется определителю, строки которого соответственно равны ко-
ординатам перемножаемых векторов, т.е.
                                                     x1    y1    z1
                                     ( a , b , c ) = x2    y2    z2 .
                                                    x3     y3     z3
Δ   Имеем b × c = { y2 z3 − y3 z 2 , − x2 z3 + x3 z 2 , x2 y3 − x3 y2 } . Тогда
(a , b , c ) = a (b × c ) = x1 ( y2 z3 − y3 z 2 ) − y1 ( x2 z3 − x3 z 2 ) + z1 ( x2 y3 − x3 y2 ) =