Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 7 стр.

                                                7

                                               x1      y1    z1
    y       z2     x       z2     x       y2
= x1 2         − y1 2         + z1 2         = x2      y2    z2 . ▲
    y3      z3     x3      z3     x3      y3
                                               x3      y3    z3
    ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИИ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И
     УРАВНЕНИЯХ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
     Алгебраическим уравнением от переменных x1 , x2 ,..., xn называется урав-
нение вида
                           F ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 ,
в котором левая часть F ( x1 , x2 ,..., xn ) есть многочлен от этих переменных. Сте-
пень многочлена F ( x1 , x2 ,..., xn ) называется степенью данного уравнения.
     Более подробно. Алгебраическим уравнением от переменных x1 , x2 ,..., xn
называется уравнение вида
            a1 x1α1 xα2 2 ...xαn n + a2 x1β1 x2β 2 ...xnβ n + ... + as x1γ 1 x2γ 2 ...xnγ n = 0 .
При этом степенью уравнения называется наибольшая из сумм α1 + α 2 + ... + α n ,
β1 + β 2 + ... + β n , … , γ 1 + γ 2 + ... + γ n (здесь все показатели степени – целые
неотрицательные числа).
      В аналитической геометрии линии на плоскости и поверхности в трехмер-
ном пространстве принято определять соответственно как множества решений
алгебраических уравнений
                                  F ( x, y ) = 0 для линий,                (1)
                          F ( x, y, z ) = 0 для поверхностей.              (2)
Заметим, что всякая линия (или поверхность), задаваемая алгебраическим урав-
нением (1) (или (2) ), называется соответственно алгебраической линией (или по-
верхностью). Всякая неалгебраическая линия (или поверхность) называется
трансцендентной.
      Если уравнение (1) ( или (2) ), определяющее данную линию (или поверх-
ность), имеет степень m , то говорят, что эта линия (поверхность) имеет степень
(порядок) m . Так, например, окружность, определяемая уравнением
x 2 + y 2 = r 2 , – это алгебраическая линия 2-го порядка. Разумеется, для того что-
бы эти определения линий и поверхностей имели смысл, необходимо, чтобы в
плоскости (в пространстве) была выбрана определенная система координат.
     Однако с определением линии и поверхности не все обстоит так просто, как
кажется на первый взгляд. Множество всех точек плоскости, удовлетворяющих
               2
уравнению x = 0 , совпадает с множеством точек, удовлетворяющих уравнению
x = 0 , и представляет собой ось ординат координатной системы, положенной в
основу наших рассуждений. Получается, что прямая линия (в данном случае пря-
мая x = 0 ) определяется не только своим «естественным» уравнением первой
степени, но еще и некоторыми уравнениями более высоких степеней. Однако в