Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 8 стр.

                                       8

аналитической геометрии считают, и к этому имеются серьезные основания, что
            2
уравнение x = 0 есть уравнение не просто оси ординат, а «дважды взятой оси
ординат» – кривой 2-го порядка, являющейся парой слившихся прямых, каждая
из которых есть прямая x = 0 .
      Приведенные определения имеют существенный недостаток, который бро-
сается в глаза при первом знакомстве с понятиями алгебраических линий и по-
верхностей. А именно: неизвестно, какой вид имеет уравнение линии (поверхно-
сти) в какой-нибудь другой декартовой системе координат. Если же уравнение (1)
или (2) при переходе к другой системе координат остается алгебраическим, то
неизвестно, останется ли прежней степень уравнения. Ответ на эти вопросы дает
следующая теорема об инвариантности (неизменности) порядка.
      Теорема. Если линия (поверхность) на плоскости (в пространстве) в неко-
торой декартовой системе координат может быть задана алгебраическим
уравнением (1) (соответственно (2) ), то и в любой другой декартовой системе
координат она может быть задана уравнением того же вида, имеющим ту же
степень.
                             (Без доказательства)
      С помощью алгебраических уравнений в пространстве можно задавать не
только поверхности, но и линии. Линию в пространстве естественно рассматри-
вать как пересечение двух поверхностей, т.е. как геометрическое место точек,
принадлежащих одновременно двум поверхностям. Если F1 ( x, y ) = 0 и
F2 ( x, y ) = 0 – уравнения двух поверхностей, пересечением которых является
данная линия L , то координаты любой точки, лежащей на линии L , удовлетво-
ряют системе уравнений
                                   ⎧ F1 ( x, y ) = 0,
                                   ⎨                                      (3)
                                   ⎩ F2 ( x, y ) = 0.
Таким образом, два уравнения (3) называются уравнениями линии L , если им
удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на L , и не удовлетворяют ко-
ординаты точки, не лежащей на линии L .
      В общем случае данную линию L можно представить двумя уравнениями
бесчисленным множеством способов: вместо данных двух поверхностей можно
взять любую пару поверхностей, пересекающихся по той же линии L . Аналити-
чески это означает, что вместо системы (3) можно взять любую эквивалентную
систему.
      Пространственная линия называется алгебраической, если она может быть
определена как пересечение двух алгебраических поверхностей.
      Теперь удобно еще раз указать основные объекты, изучением которых за-
нимается аналитическая геометрия. Эта область математики исследует алгебраи-
ческие линии и поверхности 1-го и 2-го порядков. Линии и поверхности выше 2-
го порядка, а также трансцендентные линии и поверхности, не являются предме-
том рассмотрения аналитической геометрии.
      1. Параметрические уравнения линий и поверхностей. Представим се-
бе, что линия – это траектория движущейся точки. В каждый момент времени t