Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

10
ϕ
ϕ
θ
ϕ
θ
cos,sinsin,sincos
r
z
r
y
r
x
=
=
=
.
Здесь параметры
θ
и
ϕ
представляют собой угловые сферические координаты
(долготу и широту) точек сферы. Для того чтобы все точки сферы обходились
один раз, следует ограничить область изменения параметров промежутками
π
θ
20 <≤
,
π
ϕ
≤
≤
0 .
2. Цилиндрические и конические поверхности. Пусть в пространстве за-
дана декартова прямоугольная система координат
Oxy
z
.
Определение 1
. Поверхность
называется цилиндрической поверхностью с
образующей, параллельной оси
O
z
, если она обладает следующим свойством:
какова бы ни была лежащая на этой поверхности точка
),,(
0000
zyxM
, прямая
линия, проходящая через эту точку и параллельная оси
O
z
, целиком лежит на
поверхности
.
Любую целиком лежащую на цилиндрической поверхности прямую назы-
вают образующей этой поверхности.
Совершенно аналогично определяются цилиндрические поверхности с об-
разующими, параллельными осям
Ox или Oy .
Определение 2
. Поверхность
S
называется конической с вершиной в нача-
ле координат
O , если она обладает следующим свойством: какова бы ни была
лежащая на этой поверхности и отличная от начала координат точка
),,(
0000
zyxM , прямая линия, проходящая через точку
0
M
и через начало ко-
ординат
O
, целиком лежит на поверхности
S
.
Выясним, какими уравнениями определяются цилиндрические и кониче-
ские поверхности.
Ради определенности будем рассматривать цилиндрическую поверхность с
образующей, параллельной оси
Oz
(рис. 1).
Рис. 1. Цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси
O
z
.
Докажем, что всякое уравнение вида
0),(
=
y
x
F
, (6)
x
y
z
0
M
M
                                             10

               x = r cosθ sin ϕ ,       y = r sin θ sin ϕ ,   z = r cos ϕ .
Здесь параметры θ и ϕ представляют собой угловые сферические координаты
(долготу и широту) точек сферы. Для того чтобы все точки сферы обходились
один раз, следует ограничить область изменения параметров промежутками
0 ≤ θ < 2π , 0 ≤ ϕ ≤ π .
       2. Цилиндрические и конические поверхности. Пусть в пространстве за-
дана декартова прямоугольная система координат Oxyz .
       Определение 1. Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с
образующей, параллельной оси Oz , если она обладает следующим свойством:
какова бы ни была лежащая на этой поверхности точка M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , прямая
линия, проходящая через эту точку и параллельная оси Oz , целиком лежит на
поверхности S .
       Любую целиком лежащую на цилиндрической поверхности прямую назы-
вают образующей этой поверхности.
       Совершенно аналогично определяются цилиндрические поверхности с об-
разующими, параллельными осям Ox или Oy .
       Определение 2. Поверхность S называется конической с вершиной в нача-
ле координат O , если она обладает следующим свойством: какова бы ни была
лежащая на этой поверхности и отличная от начала координат точка
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , прямая линия, проходящая через точку M 0 и через начало ко-
ординат O , целиком лежит на поверхности S .
      Выясним, какими уравнениями определяются цилиндрические и кониче-
ские поверхности.
      Ради определенности будем рассматривать цилиндрическую поверхность с
образующей, параллельной оси Oz (рис. 1).

                                    z




                                                  M0


                                                  M
                                                                 y


                          x

   Рис. 1. Цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Oz .
     Докажем, что всякое уравнение вида
                                   F ( x, y ) = 0 ,                      (6)

Страницы