Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 12 стр.

                                          12

      Перейдем к выяснению вида уравнения конической поверхности.
      Определение. Функция F ( x, y, z ) , определенная для любых значений аргу-
мента, называется однородной функцией (степени n ), если, каково бы ни было
вещественное число k , справедливо равенство
                                F (kx, ky, kz ) = k n F ( x, y, z ) .
      Докажем, что уравнение
                                         F ( x, y , z ) = 0 ,                 (8)
в котором F ( x, y, z ) является однородной функцией любой степени n , определя-
ет коническую поверхность.
Δ Пусть M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) – любая отличная от начала координат точка, лежащая
на поверхности S , определяемой уравнением (8). Тогда справедливо равенство
                                           F ( x0 , y 0 , z 0 ) = 0 .          (9)
Достаточно доказать, что, какова бы ни была точка M ( x, y, z ) , лежащая на пря-
мой, проходящей через точку M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) и через начало координат O , коор-
динаты x , y и z этой точки удовлетворяют уравнению (8).

                                  z




                                               M0
                                         M
                                 O
                                                               y


                             x

        Рис. 3. Коническая поверхность с вершиной в начале координат O .
       Так как векторы OM и OM 0 коллинеарны (как лежащие на одной прямой)
и вектор OM 0 является ненулевым, найдется вещественное число k такое, что
OM = k ⋅ OM 0 , т.е. x = kx0 , y = ky0 , z = kz0 . Из последних равенств, из равенства
(9) и из того, что F ( x, y, z ) – однородная функция некоторой степени n , получим
                  F ( x, y, z ) = F (kx0 , ky0 , kz0 ) = k n F ( x0 , y0 , z 0 ) = 0 .
Доказательство того, что поверхность S , определяемая уравнением (8) с одно-
родной функцией F ( x, y, z ) , является конической, завершено. ▲
      Заметим, что прямые, целиком лежащие на конической поверхности, назы-
ваются ее образующими и что все образующие (как это видно из проведенного
доказательства) проходят через начало координат O .