Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 13 стр.

                                            13

     Простейшим примером конической поверхности может служить круглый
конус,    определяемый     уравнением      x2 + y2 − z 2 = 0 . Функция
F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − z 2 , задающая его уравнение, является однородной функцией
второго порядка.
                        ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
      В этом разделе будут выведены различные уравнения прямой на плоскости.
Их «различный внешний вид» и различные названия связаны с различными гео-
метрическими способами задания прямой. Каждое уравнение сориентировано на
решение задач определенного типа. Общим с математической точки зрения для
всех полученных уравнений является то, что все они являются уравнениями пер-
вого порядка. Таким образом, множество алгебраических линий первого порядка
и множество прямых на плоскости совпадают. Поэтому прямые называют линия-
ми первого порядка.
      1. Общее уравнение прямой. Докажем сначала, что если на плоскости P
задана произвольная прямая линия L и фиксирована произвольная декартова
прямоугольная система Oxy , то прямая L определяется в этой системе урав-
нением первой степени.
      Достаточно доказать, что прямая L определяется уравнением первой сте-
пени при каком-то одном специальном выборе декартовой прямоугольной систе-
мы на плоскости P , ибо тогда она будет определяться уравнением первой степе-
ни и при любом выборе декартовой прямоугольной системы на плоскости P (в
силу теоремы об инвариантности порядка алгебраической кривой относительно
выбора системы координат, см. стр. 6). Направим ось Ox вдоль прямой L , а ось
Oy перпендикулярно к ней. Тогда уравнением прямой будет уравнение первой
степени y = 0 . Утверждение доказано.
      Докажем теперь, что если на плоскости P фиксирована произвольная де-
картова прямоугольная система Oxy , то всякое уравнение первой степени с
двумя переменными x и y определяет относительно этой системы прямую ли-
нию.
      В самом деле, пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная
система Oxy и задано уравнение первой степени
                              Ax + By + C = 0 ,                         (10)
в котором A , B и C – какие угодно постоянные, причем A 2 + B 2 ≠ 0 . Уравнение
(10) заведомо имеет хотя бы одно решение x0 , y0 4, т.е. существует хотя бы одна
точка M 0 ( x0 , y0 ) , координаты которой удовлетворяют уравнению (10):
                                    Ax0 + By0 + C = 0 .                    (11)
Вычитая из уравнения (10) числовое равенство (11), получим уравнение

4
    Действительно, A и B одновременно не равны нулю. Пусть, например, B ≠ 0 . Тогда, взяв
                                                         A     C
произвольное x0 , из уравнения (10) мы получим y 0 = −     x0 − .
                                                         B     B