Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 15 стр.

                                             15

     Заметим, что в уравнении «в отрезках» числа a и b имеют простой геомет-
рический смысл: они равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях
Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат).
     Уравнение прямой «в отрезках» удобно использовать для построения этой
прямой на чертеже (рис. 4).
     3. Каноническое5 уравнение прямой. Любой ненулевой вектор, парал-
лельный данной прямой, называют направляющим вектором этой прямой.
     Поставим перед собой задачу: найти уравнение прямой, проходящей через
данную точку M 1 ( x1 , y1 ) и имеющей заданный направляющий вектор q = {l , m} .
     Очевидно, точка M ( x, y ) лежит на указанной прямой тогда и только тогда,
когда векторы M 1 M = {x − x1 , y − y1} и q = {l , m} коллинеарны, т.е. тогда и только
тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны:
                                                 x − x1 y − y1
                                                        =          .                     (13)
                                                   l         m
Уравнение (13) и есть искомое уравнение прямой. Это уравнение называют кано-
ническим уравнением прямой.
        Заметим, что в каноническом уравнении (13) один из знаменателей l или
m может оказаться равным нулю (оба числа l и m равняться нулю не могут, ибо
                                                                     a c
вектор q = {l , m} ненулевой). Всякую пропорцию =                        мы договоримся пони-
                                                                     b d
мать как равенство ad = bc , обращение в нуль одного из знаменателей в (13) оз-
начает обращение в нуль и соответствующего числителя. В самом деле, если,
например, l = 0 , то, поскольку m ≠ 0 , из равенства l ( y − y1 ) = m( x − x1 ) заключа-
ем, что x − x1 = 0 .
        Запишем теперь уравнение прямой, проходящей через две данные точки
M 1 ( x1 , y1 ) и M 2 ( x2 , y 2 ) (конечно, эти точки считаются отличными друг от друга).
Так как за направляющий вектор такой прямой можно взять вектор
q = M 1M 2 = {x2 − x1 , y 2 − y1} и прямая проходит через точку M 1 ( x1 , y1 ) , то из ка-
нонического уравнения (13) получим уравнение искомой прямой в виде
                                            x − x1      y − y1
                                                     =           .
                                            x2 − x1 y 2 − y1
Последнее уравнение можно записать в эквивалентной форме, используя понятие
определителя:
                                          x − x1      y − y1
                                                             = 0.
                                          x2 − x1 y 2 − y1
        4. Параметрические уравнения прямой. Вернемся к уравнению (13)
                                             x − x1 y − y1
                                                     =         .
                                               l         m
Обозначим через t (∈ R ) значение отношений в равенстве (13). Тогда
5
  Термин «канонический» (происходит от греч. слова «канон» – правило, предписание, обра-
зец) понимается здесь как «типовой», «традиционный».