Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 14 стр.

                                          14

                                  A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 ,            (12)
эквивалентное уравнению (10). Достаточно доказать, что уравнение (12) опреде-
ляет относительно системы Oxy некоторую прямую. Мы докажем, что уравнение
(12) (а стало быть, и (10)) определяет прямую L , проходящую через точку
M 0 ( x0 , y0 ) и перпендикулярную вектору n = { A, B} (так как A и B одновременно
не равны нулю, то вектор n ненулевой).
        В самом деле, если точка M ( x, y ) лежит на указанной прямой L , то ее ко-
ординаты удовлетворяют уравнению (12), ибо в этом случае векторы n = { A, B} и
M 0 M = { x − x0 , y − y 0 }    ортогональны    и   их     скалярное      произведение
 A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) равно нулю. Если же точка M ( x, y ) не лежит на указанной
прямой L , то ее координаты не удовлетворяют уравнению (12), ибо в этом слу-
чае векторы n и M 0 M не ортогональны и поэтому их скалярное произведение не
равно нулю. Утверждение доказано.
        Уравнение (10) с произвольными коэффициентами A , B и C такими, что
 A и B не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой. Мы
доказали, что прямая, определяемая общим уравнением (10), ортогональна к век-
тору n = { A, B} . Этот последний вектор называют нормальным вектором прямой
(10).
        2. Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой «в отрезках» (на
осях). Общее уравнение прямой (10) называется полным, если все его коэффици-
енты A , B и C отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициен-
тов равен нулю, уравнение называется неполным.
        Рассмотрим полное уравнение прямой (10) и покажем, что оно может быть
                  x y
приведено к виду     + = 1 , называемому уравнением прямой «в отрезках».
                  a b
      В самом деле, так как все коэффициенты A , B и C отличны от нуля, мож-
но переписать уравнение (10) в виде
                                 x    y
                                    +     =1
                                −C/A −C/B
и затем положить a = −C / A , b = −C / B .

                         y




                         b



                         O               a                  x

                                       Рис. 4.