Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

17
комое уравнение в виде
)(
11
xxkyy
−
=−
. Если теперь ввести обозначение
11
kxyb −=
, то это уравнение примет вид
bkxy
+
=
.
Оно называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Задача
. Даны прямые
11
bxky
+
=
и
22
bxky
+
=
. Требуется найти угол
α
между ними.
Δ
21
12
21
12
12
11
)(
kk
kk
tgtg
tgtg
tgtg
+
−
=
+
−
=−=
αα
α
α
ααα
. Обозначения и их смысл см. на
рис.6.
▲
Рис. 6.
Следствие 1
(Условие совпадения прямых). Две прямые
11
bxky +=
и
22
bxky +=
совпадают тогда и только тогда, когда
21
kk
=
и
21
bb =
.
Следствие 2
(Условие параллельности прямых). Две прямые
11
bxky +=
и
22
bxky +=
параллельны тогда и только тогда, когда
21
kk
=
и
21
bb ≠
.
Следствие 3
(Условие перпендикулярности прямых). Две прямые
11
bxky +=
и
22
bxky +=
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
1
21
−=⋅ kk
.
Δ
Действительно, прямые перпендикулярны
⇔
2
π
α
=
⇔
α
tg
не существует
⇔
01
21
=⋅+ kk
1
21
−
=
⋅
kk
. ▲
6. Нормальное (нормированное) уравнение прямой. Очевидно, что по-
ложение прямой
l
на плоскости однозначно определяется указанием расстояния
p
от начала координат до прямой (
0
≥p
) и угла
ϕ
, который образует вектор,
перпендикулярный к прямой, с положительным направлением оси
O
x
(рис. 7).
Ясно, что точки
A
и
B
, отмеченные на чертеже, имеют соответственно коорди-
наты
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
0;
cos
ϕ
p
и
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ϕ
sin
;0
p
. Составим уравнение заданной прямой
l
в отрезках
на осях:
x
y
0
α
1
α
2
α
                                          17

комое уравнение в виде y − y1 = k ( x − x1 ) . Если теперь ввести обозначение
b = y1 − kx1 , то это уравнение примет вид
                                    y = kx + b .
Оно называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
     Задача. Даны прямые y = k1 x + b1 и y = k 2 x + b2 . Требуется найти угол α
между ними.
Δ tg α = tg (α 2 − α1 ) = tg α 2 − tg α1 = k 2 − k1 . Обозначения и их смысл см. на
                         1 + tg α1 tg α 2 1 + k1k 2
рис.6. ▲

                             y




                                                        α



                                     α1            α2
                                 0                                x

                               Рис. 6.
Следствие 1 (Условие совпадения прямых). Две прямые                 y = k1 x + b1 и
y = k 2 x + b2 совпадают тогда и только тогда, когда k1 = k 2 и b1 = b2 .
Следствие 2 (Условие параллельности прямых). Две прямые y = k1 x + b1 и
y = k 2 x + b2 параллельны тогда и только тогда, когда k1 = k 2 и b1 ≠ b2 .
Следствие 3 (Условие перпендикулярности прямых). Две прямые y = k1 x + b1 и
y = k 2 x + b2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда k1 ⋅ k 2 = −1 .
                                                            π
Δ   Действительно, прямые перпендикулярны ⇔ α =                 ⇔ tg α не существует
                                                            2
⇔ 1 + k1 ⋅ k 2 = 0 ⇔ k1 ⋅ k2 = −1 . ▲
      6. Нормальное (нормированное) уравнение прямой. Очевидно, что по-
ложение прямой l на плоскости однозначно определяется указанием расстояния
 p от начала координат до прямой ( p ≥ 0 ) и угла ϕ , который образует вектор,
перпендикулярный к прямой, с положительным направлением оси Ox (рис. 7).
Ясно, что точки A и B , отмеченные на чертеже, имеют соответственно коорди-
      ⎛ p          ⎞ ⎛        p ⎞
наты ⎜⎜       ; 0 ⎟⎟ и ⎜⎜ 0 ;   ⎟⎟ . Составим уравнение заданной прямой l в отрезках
      ⎝ cos ϕ ⎠ ⎝ sin ϕ ⎠
на осях:

Страницы