Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 19 стр.

                                                 19

      Таким образом, мы вывели формулу для нахождения расстояния от точки
до прямой:
                  ρ ( M , l ) = | xM cos ϕ + y M sin ϕ − p | . ▲
      Переход от общего уравнения прямой Ax + By + C = 0 к нормальному
уравнению осуществляется умножением обеих частей уравнения на нормирую-
                      − sign C
щий множитель                      :
                       A2 + B 2
                ⎛ − sign C ⋅ A ⎞ ⎛ − sign C ⋅ B ⎞     |C |
                ⎜              ⎟x + ⎜           ⎟y −         = 0,
                ⎜     2     2 ⎟     ⎜  2     2 ⎟      2    2
                ⎝ A +B ⎠ ⎝ A +B ⎠                    A +B
где sign x – функция «знака» (читается: сигнум икс, от лат. signum – знак), т.е.
                                            ⎧1, если x > 0,
                                            ⎪
                                   sign x = ⎨0, если x = 0,
                                            ⎪− 1, если x < 0.
                                            ⎩
              ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
      1. Уравнения плоскости. Положение плоскости в пространстве можно за-
дать, указав вектор n = ( A, B, C ) ( ≠ 0 ) – вектор нормали к ней и точку
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) ∈ Π .
       Пусть M ( x, y , z ) – произвольная точка, тогда
                        M ∈Π       ⇔     MM 0 ⊥ n     ⇔ ( MM 0 , n ) = 0 .
Соотношение
                                      ( MM 0 , n ) = 0
можно считать векторным уравнением плоскости Π . Переходя к координатам,
получаем
            A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 , A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 . (17)
Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через заданную
точку и имеющей заданный вектор нормали.
     Преобразуем уравнение (17):
                    Ax + By + Cz + ( Ax0 + By 0 + Cz 0 ) = 0 ⇔
                                        144     42444       3
                                                      =D
                                       Ax + By + Cz + D = 0 .                                  (18)
Уравнение (18) называется общим уравнением плоскости.
     Пусть M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x3 , y3 , z 3 ) – три различные точ-
ки плоскости Π , не лежащие на одной прямой. Пусть M ( x, y , z ) – произвольная
точка, тогда M ( x, y , z ) ∈ Π ⇔ векторы M 1M , M 1 M 2 , M 1M 3 компланарны ⇔
                               ( M 1M , M 1 M 2 , M 1M 3 ) = 0.
Переходя к координатам, получаем