Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 21 стр.

                                             21

                 прn OM = (n0 , OM ) = x cos α + y cos β + z cos γ .         (20)
      Из равенств (19) и (20) следует, что точка M ( x, y, z ) лежит на плоскости
Π тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению
                      x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0 .
Последнее уравнение называется нормальным (нормированным) уравнением
плоскости.
     Задача. Найти расстояние от точки M ( xM , y M , z M ) до плоскости Π .
Δ  Повторяя рассуждения, проведенные для прямой на плоскости, в этом случае
получаем:
                                                            | AxM + By M + Cz M + D |
      ρ ( M , Π ) =| xM cosα + y M cos β + z M cos γ − p |=                           ,
                                                                  A2 + B 2 + C 2
где x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0 – нормальное уравнение плоскости Π , а
 Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости Π . ▲
      2. Прямая в пространстве. Положение прямой L в пространстве можно
задать, указав точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ L и направляющий вектор этой прямой
l = (m, n, p) , l ≠ 0 .
      Пусть M ( x, y , z ) – произвольная точка, тогда M ( x, y, z ) ∈ L ⇔ векторы
l и M 0 M коллинеарны ⇔
                    x − x0 y − y 0 z − z 0
                            =       =       , m2 + n2 + p 2 ≠ 0 .              (21)
                        m       n       p
Уравнения (21) называются каноническими уравнениями прямой, проходящей че-
рез заданную точку и имеющей заданный направляющий вектор. Обозначив зна-
чение отношения в (21) через t (∈ R) , получим
                           x − x0 y − y 0 z − z 0
                                 =          =       = t или
                             m         n          p
                                  ⎧ x = x0 + mt ,
                                  ⎪
                                  ⎨ y = y0 + nt , t ∈ R .                             (22)
                                  ⎪ z = z + pt ,
                                  ⎩      0
Уравнения (22) называют параметрическими уравнениями прямой.
     Из элементарной геометрии известно, что прямая может быть задана как
линия пересечения двух плоскостей. Пусть Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ,
Π 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 – плоскости. Условие их пересечения состоит в
том, что векторы n1 = ( A1 , B1 , C1 ) и n2 = ( A2 , B2 , C 2 ) непараллельны, т.е. координа-
ты векторов нормалей не должны быть пропорциональны. Тогда система уравне-
ний