ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22
⎩
⎨
⎧
=+++
=+++
0
,0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
(23)
определяет прямую
L
, по которой они пересекаются. Если мы хотим перейти от
уравнений (23) к каноническим уравнениям прямой, то очевидно, что в качестве
направляющего вектора
l
этой прямой можно взять вектор
21
nnl ×=
.
Точку, принадлежащую прямой
L
, определяемой уравнениями (23), можно найти
как частное решение системы (23).
Задача
. Найти расстояние от точки
)1,1,1(
0
M
до прямой
L
:
4
2
3
2
2
1
−
=
+
=
− zyx
.
Δ
1-й способ. Составим уравнение плоскости
Π
, проходящей через точку
0
M
перпендикулярно прямой
L
(см. рис. 10).
Рис. 10.
Получаем
Π
:
0)1(4)1(3)1(2
=
−
+
−
+
−
z
y
x
. Найдем точку
1
M
пересечения пря-
мой
L
и плоскости
Π
. Для этого перейдем к параметрическим уравнениям
L
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+−=
+
=
tz
ty
tx
42
,32
,21
и подставим правые части параметрических уравнений в уравнение плоскости Π :
0)142(4)132(3)121(2
=
−
+
+
−
+
−+
−
+
ttt
,
откуда
29/5=
t
и
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
29
78
,
29
43
,
29
39
1
M
. Искомое расстояние
3
29
12,87
29
78
1
29
43
1
29
39
1),(),(
222
100
≈≈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−== MMLM
ρρ
.
2-й способ
. Найдем расстояние от точки
0
M
до текущей точки
)(
t
M
прямой
L
:
101029)142()132()121())(,(
2222
0
+−=−++−+−+−+= ttttttMM
ρ
.
Найдем значение
t
, при котором значение расстояния минимально:
L
Π
0
M
1
M
22
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
⎨ (23)
⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
определяет прямую L , по которой они пересекаются. Если мы хотим перейти от
уравнений (23) к каноническим уравнениям прямой, то очевидно, что в качестве
направляющего вектора l этой прямой можно взять вектор
l = n1 × n2 .
Точку, принадлежащую прямой L , определяемой уравнениями (23), можно найти
как частное решение системы (23).
Задача. Найти расстояние от точки M 0 (1,1,1) до прямой L :
x −1 y + 2 z − 2
= = .
2 3 4
Δ 1-й способ. Составим уравнение плоскости Π , проходящей через точку M 0
перпендикулярно прямой L (см. рис. 10).
M0
M1 L
Π
Рис. 10.
Получаем Π : 2( x − 1) + 3( y − 1) + 4( z − 1) = 0 . Найдем точку M 1 пересечения пря-
мой L и плоскости Π . Для этого перейдем к параметрическим уравнениям L
⎧ x = 1 + 2t ,
⎪
⎨ y = −2 + 3t ,
⎪ z = 2 + 4t
⎩
и подставим правые части параметрических уравнений в уравнение плоскости Π :
2(1 + 2t − 1) + 3(−2 + 3t − 1) + 4(2 + 4t − 1) = 0 ,
⎛ 39 43 78 ⎞
откуда t = 5 / 29 и M 1 ⎜ ,− , ⎟ . Искомое расстояние
⎝ 29 29 29 ⎠
2 2 2
⎛ 39 ⎞ ⎛ 43 ⎞ ⎛ 78 ⎞ 87,12
ρ ( M 0 , L ) = ρ ( M 0 , M 1 ) = ⎜1 −
⎟ + ⎜1 + ⎟ + ⎜1 − ⎟ ≈ ≈ 3.
⎝ 29 ⎠ ⎝ 29 ⎠ ⎝ 29 ⎠ 29
2-й способ. Найдем расстояние от точки M 0 до текущей точки M (t ) прямой L :
ρ ( M 0 , M (t )) = (1 + 2t − 1) 2 + (−2 + 3t − 1) 2 + (2 + 4t − 1) 2 = 29t 2 − 10t + 10 .
Найдем значение t , при котором значение расстояния минимально:
