Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

18
1
sincos
=+
ϕϕ
p
y
p
x
или
0sincos
=
−
+ p
y
x
ϕ
ϕ
, 0≥p . (15)
Это уравнение называется
нормальным уравнением прямой. Из вида уравнения
(15) следует, что вектор
}sin,{cos
0
ϕ
ϕ
=n является (единичным) векто-
ром нормали прямой
l
( 1||
0
=n ).
Рис. 7.
Задача
(о нахождении расстояния от точки до прямой). Дана прямая
l
и точка
lyxM
MM
∉),(
. Требуется найти
),( l
M
ρ
– расстояние от точки
M
до прямой
l
.
Δ
Составим нормальное уравнение прямой
l
: 0sincos =−
+
p
y
x
ϕ
ϕ
и составим
нормальное уравнение параллельной ей прямой
1
l
, проходящей через точку
M
:
0)(sincos
=
±
−
+
ϕ
ϕ
py
x
. (16)
(При расположении точки
M
, указанном на рис. 8, в скобках стоит
δ
+
p
). Под-
ставляя координаты точки
M
в (16), получим верное равенство:
0)(sincos
=
±
−
+
δ
ϕ
ϕ
pyx
MM
,
откуда имеем
|sincos| pyx
MM
−
+
=
ϕ
ϕ
δ
.
Рис. 8.
y
x
A
B
ϕ
p
x
y
0
p
δ
l
1
l
M
                                                     18

                             x           y
                                   +          =1   или
                          p cos ϕ p sin ϕ
                       x cos ϕ + y sin ϕ − p = 0 , p ≥ 0.             (15)
Это уравнение называется нормальным уравнением прямой. Из вида уравнения
(15) следует, что вектор n0 = {cos ϕ , sin ϕ } является (единичным) векто-
ром нормали прямой l ( | n 0 |= 1).

                                     y

                                 B




                                         p
                                             ϕ                x
                                                      A


                                        Рис. 7.
Задача (о нахождении расстояния от точки до прямой). Дана прямая l и точка
M ( x M , y M ) ∉ l . Требуется найти ρ ( M , l ) – расстояние от точки M до прямой
l.
Δ Составим нормальное уравнение прямой l : x cosϕ + y sin ϕ − p = 0 и составим
нормальное уравнение параллельной ей прямой l1 , проходящей через точку M :
                       x cos ϕ + y sin ϕ − ( p ± δ ) = 0 .                 (16)
(При расположении точки M , указанном на рис. 8, в скобках стоит p + δ ). Под-
ставляя координаты точки M в (16), получим верное равенство:
                      x M cos ϕ + y M sin ϕ − ( p ± δ ) = 0 ,
откуда имеем δ = | xM cos ϕ + y M sin ϕ − p | .

                             y


                    l1

                l                                         M
                                                 δ
                                 p
                                                                  x
                         0


                                                 Рис. 8.

Страницы