Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 11 стр.

                                         11

связывающее две переменные x и y и не содержащее z , определяет цилиндри-
ческую поверхность с образующей, параллельной оси Oz .
Δ Пусть M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) – любая точка, лежащая на поверхности S , опреде-
ляемой уравнением (6). Тогда координаты этой точки должны удовлетворять
уравнению (6), т.е. справедливо равенство
                                       F ( x0 , y0 ) = 0 .                 (7)
     Достаточно доказать, что любая точка M прямой, проходящей через M 0 и
параллельной оси Oz , также лежит на поверхности S , т.е. имеет координаты,
удовлетворяющие уравнению (6).
     Какова бы ни была точка M прямой, проходящей через M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) и
параллельной оси Oz , ее абсцисса и ордината те же, что и у точки M 0 , т.е. рав-
ны соответственно x0 и y0 , а аппликата z имеет какое угодно значение. Но в
уравнение (6) входят только абсцисса и ордината, а они в силу равенства (7)
удовлетворяют этому уравнению. Тем самым доказано, что S – цилиндрическая
поверхность с образующей, параллельной оси Oz . ▲
     Заметим, что на координатной плоскости Oxy уравнение (6) определяет
плоскую линию, которую обычно называют направляющей рассматриваемой ци-
линдрической поверхности. В пространстве эта линия определяется двумя урав-
нениями
                                 ⎧ F ( x, y ) = 0,
                                 ⎨
                                 ⎩ z = 0,
первое из которых определяет рассматриваемую цилиндрическую поверхность, а
второе – координатную плоскость Oxy .

                                     z



                                              x2 + y2 = r 2

                                                y



                           x


                          Рис. 2. Круговой цилиндр.
     В качестве примера приведем уравнение x 2 + y 2 = r 2 , определяющее в про-
странстве круговой цилиндр (рис. 2) с образующей, параллельной оси Oz , и с
направляющей, представляющей собой лежащую в плоскости Oxy окружность
единичного радиуса с центром в начале координат.