Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 9 стр.

                                                  9

нам известно положение точки, т.е. ее координаты относительно выбранной за-
ранее системы координат. Это означает, что координаты точки ( x, y , z ) (или
( x, y ) для линии на плоскости) являются заданными функциями времени:
                           x = ϕ (t ), y = ψ (t ), z = χ (t ) .          (4)
Здесь не существенно, что переменная величина t имеет физический смысл вре-
мени. Если мы зададим координаты точки как (непрерывной) функции от какой-
нибудь переменной величины, или, как говорят, параметра, мы тем самым зада-
дим линию.
        Вообще говоря, этот способ определения линии в пространстве эквивален-
тен определению ее в виде пересечения двух поверхностей. Чтобы убедиться в
этом, предположим, что хотя бы одна (например, третья) из функций (4) допуска-
                                                                                −1
ет обратную. В таком случае из третьего равенства (4) получим, что t = χ ( z ) ,
и, подставляя это значение t в первые два равенства (4), получим уравнения двух
поверхностей
                           x = ϕ ( χ −1 ( z )),       y = ψ ( χ −1 ( z )) ,
пересечением которых служит данная линия.
     Уравнения вида (4) называются параметрическими уравнениями линии в
пространстве, а уравнения вида x = ϕ (t ), y = ψ (t ) – параметрическими уравне-
ниями на плоскости.
     Пример. На плоскости Oxy параметрические уравнения окружности
x 2 + y 2 = r 2 имеют вид
                       x = r cos t ,     y = r sin t         (0 ≤ t < 2π ) .
Та же окружность в пространстве задается тремя уравнениями:
                   x = r cos t ,   y = r sin t ,        z = 0 (0 ≤ t < 2π ) .
      Для параметрического задания поверхности координаты любой точки этой
поверхности должны быть заданы как функции не одного, а двух параметров u и
v . Убедимся в том, что три уравнения
                        x = ϕ (u , v), y = ψ (u , v ), z = χ (u , v)       (5)
определяют в пространстве некоторую поверхность. Для этого предположим, что
хотя бы одна пара из трех уравнений (5) может быть разрешена относительно па-
раметров u и v . Допустим, например, что из первых двух уравнений (5) u и v
могут быть выражены как функции x и y :
                           u = f ( x, y ), v = g ( x, y ) .
Подставляя эти значения u и v в третье уравнение (5), получим уравнение с тре-
мя переменными
                           z − χ ( f ( x, y ), g ( x, y )) = 0 ,
определяющее, как известно, некоторую поверхность. Конечно, для проведения
подобных рассуждений требуются некоторые ограничения, которые мы сейчас
оставляем в стороне.
      В качестве примера приведем параметрические уравнения сферы радиуса
r > 0 с центром в начале координат: