Элементы аналитической геометрии. Саакян Г.Р. - 5 стр.

                                                 5

     Пользуясь этой таблицей и свойствами векторного произведения, найдем
формулу для выражения векторного произведения через декартовы координаты
сомножителей:
a × b = ( x1i + y1 j + z1k ) × ( x2i + y2 j + z 2 k ) = ( y1 z 2 − y2 z1 )i + ( x2 z1 − x1 z 2 ) j +
                        i        j    k
+ ( x1 y2 − x2 y1 )k = x1       y1    z1 .
                         x2     y2    z2
      2. Смешанное произведение векторов.
      Определение. Смешанным произведением трех векторов a , b , c называ-
ется число, равное скалярному произведению вектора a на векторное произведе-
ние векторов b и c , т.е. a (b × c ) .
      Геометрический смысл смешанного произведения выражает следующая
теорема.
      Теорема. Смешанное произведение a (b × c ) равно объему V параллелепи-
педа, построенного на приведенных к общему началу векторах a , b , c , взятому
со знаком «плюс», если тройка векторов a , b , c правая, и со знаком «минус»,
если тройка векторов a , b , c левая. Если же векторы a , b , c компланарны,
то a (b × c ) = 0 .
      В краткой записи:
                                 ⎧V , если a , b , c правая тройка;
                                 ⎪
                    a (b × c ) = ⎨− V , если a , b , c левая тройка;
                                 ⎪0, если a , b , c компланарны.
                                 ⎩

                     b ×c


                              ϕ a
                                     c


                                                            b
                              V = Sh =| b × c | ⋅ | a | cos ϕ
      Доказательство видно из рисунка.
                         Свойства смешанного произведения
1. a (b × c ) = (a × b )c .