Теория игр: Текст лекций. Саакян Г.Р. - 10 стр.

                                                                                                        9

        Рассмотренный выше пример 3 иллюстрирует общее правило для игр без седловой
точки: игрок, играющий по определенной (детерминированной) стратегии, оказывается в
худшем положении по сравнению с игроком, который меняет стратегию случайным обра-
зом.
        Случайная величина 1 , значениями которой являются стратегии игрока, называется его
смешанной стратегией.
        Тем самым, задание смешанной стратегии игрока состоит в указании тех вероятно-
стей, с которыми выбираются его первоначальные стратегии.
        Рассмотрим произвольную m × n -игру, заданную m × n -матрицей
                                             A = (aik ) .
        Так как игрок A имеет m чистых стратегий, то его смешанная стратегия может быть
описана набором m неотрицательных чисел (вероятностей, с которыми используется та или
иная чистая стратегия Ai )
                                       p1 ≥ 0,          p2 ≥ 0, ... ,     pm ≥ 0,
сумма которых равна 1,
                                                 m

                                                 ∑p
                                                 i =1
                                                          i
                                                               = 1.
       Смешанная стратегия второго игрока B , имеющего n чистых стратегий, описывает-
ся набором n неотрицательных чисел (вероятностей)
                                    q1 ≥ 0, q2 ≥ 0, ... , qn ≥ 0,
сумма которых равна 1,
                                                  n

                                                 ∑q
                                                 k =1
                                                         k
                                                               = 1.
       Замечание. Каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии;
в частности, чистая стратегия Ai является смешанной стратегией, описываемой набором чи-
сел p1 , p2 ,..., pm , в котором pi = 1 , p j = 0        ( j ≠ i) .
       Подчеркнем, что для соблюдения секретности каждый из игроков применяет свои
стратегии, не обращая внимания на выбор другого игрока.
       Таким образом, задав два набора
                         P = { p1 , p2 ,..., pm } и Q = {q1 , q2 ,..., qn }
мы оказываемся в ситуации смешанных стратегий. В этих условиях каждая обычная ситуа-
ция (в чистых стратегиях) { Ai , Bk } по определению является случайным событием и, ввиду
независимости наборов P и Q , реализуется с вероятностью pi qk . Поскольку в этой ситуа-
ции игрок A получает выигрыш aik , то математическое ожидание выигрыша в ситуации
смешанных стратегий ( P, Q) равно
                                                              m     n
                                     M A ( P, Q ) = ∑ ∑ aik pi qk .
                                                              i =1 k =1

Это число и принимается за средний выигрыш игрока A при смешанных стратегиях ( P, Q) .
      Определение. Стратегии
                       P 0 = { p10 , p20 ,..., pm0 } и Q 0 = {q10 , q20 ,..., qn0 }
называются оптимальными смешанными стратегиями игроков A и B соответственно, ес-
ли выполнено следующее соотношение:


1
 Здесь случайная величина – математический объект, используемый в качестве модели таких величин, конкрет-
ное значение которых, вообще говоря, не может быть предсказано заранее.