Теория игр: Текст лекций. Саакян Г.Р. - 12 стр.

                                                                                                                         11
                                                              0
      Оптимальная смешанная стратегия P игрока A смешивается только из тех чис-
тых стратегий Ai , i = 1,2,..., m (т.е. отличными от нуля могут быть вероятности pi
только с теми номерами i = 1,2,..., m ), для которых выполнены равенства
                                                n

                                               ∑a
                                               k =1
                                                        ik
                                                             qk0 = v .

Это означает, что смешиваются не все чистые стратегии.

                                                                                             0
      Аналогично, в оптимальной смешанной стратегии Q игрока B отличными от нуля
могут быть только те вероятности qk , для номеров k = 1,2,..., n которых выполнены ра-
венства
                                                       m

                                                       ∑a
                                                       i =1
                                                                  ik
                                                                       pi0 = v .
      Кроме того, имеют место соотношения
                m                       m                                              n                     n
      v = min
          1≤ k ≤ n
               i =1
                   ∑ aik pi0 = max 1min
                              P     ≤k ≤n
                                          ∑ aik pi = min
                                       i =1
                                                      Q
                                                         max ∑ aik qk = max ∑ aik qk0 = v .
                                                                           1≤ i ≤ m
                                                                                      k =1
                                                                                                 1≤ i ≤ m
                                                                                                            k =1



      В этом последнем скоплении равенств, по существу, и лежат истоки, питающие мето-
ды построения решений матричных игр.
      Опишем некоторые из них.
      Замечание к теореме 2. Пар оптимальных стратегий может быть несколько.

                         2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР

      Наши рассмотрения мы начнем с матричных игр, в которых число стратегий хотя бы
одного из игроков равно двум.
      Для построения решений 2 × n - и m × 2 -игр существует эффективный метод, осно-
ванный на простых геометрических соображениях. Этот метод называют графическим.

                                                    2.1. Игры 2 × n

      Пусть
                                              ⎛ a11           a12 ... a1n ⎞
                                              ⎜⎜                            ⎟
                                               ⎝ a21          a22 ... a2 n ⎟⎠
― платежная матрица игры 2 × n .
      Согласно теореме о двойном описании игры (теорема 2) нахождение цены игры и оп-
                     0
тимального значения p для игрока A равносильно решению уравнения
              v = min ( a1k p 0 + a2 k (1 − p 0 )) = max min ( a1k p + a2 k (1 − p )) .
                  1   ≤k ≤n                                       0 ≤ p ≤1 1≤ k ≤ n

      Опишем общую схему, приводящую к искомому результату.
      Максимум функции
                                            min (a1k p + a2 k (1 − p))                                             (1)
                                         1≤ k ≤ n

проще всего найти, построив ее график.
      Для этого поступают следующим образом.