Теория игр: Текст лекций. Саакян Г.Р. - 9 стр.

                                                                                        8

      Как показывает следующий пример, в этом случае предложенный выбор стратегий к
равновесной ситуации уже не приводит, и при многократном повторении игры у игроков
вполне могут возникнуть мотивы к нарушению рекомендаций, основанных на описанном ал-
горитме действий игроков A и B .
      Пример 3. Рассмотрим игру 3× 3 , заданную матрицей
                                        ⎛ 4 − 1 − 3⎞
                                        ⎜           ⎟
                                    A = ⎜− 2 1   3 ⎟.
                                        ⎜ 0  2 − 3 ⎟⎠
                                        ⎝
Применив предложенный алгоритм

                                4        1       -3        -3
                               -2        1       3         -2
                                0        2       -3        -3
                                4        2       3
находим нижнюю цену игры     α = −2 и соответствующую ей стратегию A2 , и верхнюю цену
игры   β =2и соответствующую ей стратегию B2 .
      Нетрудно убедиться в том, что пока игроки придерживаются этих стратегий, средний
выигрыш при многократном повторении игры будет равен 1. Он больше нижней цены игры,
но меньше верхней цены.
      Однако если игроку B станет известно, что игрок A придерживается стратегии A2 ,
он немедленно ответит стратегией B1 и сведет его выигрыш к проигрышу − 2 . В свою оче-
редь, на стратегию B1 у игрока A имеется ответная стратегия A1 , дающая ему выигрыш 4.
Тем самым, ситуация { A2 , B2 } равновесной не является.

                                1.2. Смешанные стратегии

       В случае, когда нижняя цена игры α и верхняя цена игры   β   не совпадают,
                                             α<β,
игрок A может обеспечить себе выигрыш, не меньший      α , а игрок B имеет возможность не
дать ему больше, чем β .
       Возникает вопрос: а как разделить между игроками разность β − α ?
Предыдущие построения на этот вопрос ответа не дают – тесны рамки возможных действий
игроков. Поэтому довольно ясно, что механизм, обеспечивающий получение каждым из иг-
роков как можно большей доли этой разности, следует искать в определенном расширении
стратегических возможностей, имеющихся у игроков изначально.
       Оказывается, что компромиссного распределения разности β − α между игроками и
уверенного получения каждым игроком своей доли при многократном повторении игры
можно достичь путем случайного чередования ими своих первоначальных, чистых страте-
гий. При таких действих
        – во-первых, обеспечивается наибольшая скрытность выбора стратегии (результат
           выбора не может стать известным противнику, поскольку он неизвестен самому
           игроку),
        – во-вторых, при разумном построении механизма случайного выбора стратегий
           последние оказываются оптимальными.