Теория игр: Текст лекций. Саакян Г.Р. - 21 стр.

                                                                                       20

                                     ⎧w = 3q − (1 − q),
                                     ⎨
                                     ⎩w = −q + 3(1 − q),
получаем
                                            1
                                       q 0 = , w0 = 1 .
                                            2
5-й шаг. Отыскание оптимальной смешанной стратегии игрока A .
      Полагая
                             p10 = p,   p20 = 1 − p, p30 = 0,
приравниваем средние выигрыши игрока A , соответствующие чистым стратегиям игрока
B:
                             3 p − (1 − p) = − p + 3(1 − p) ,
и находим p = 1 .
               2
      Таким образом, цена игры и оптимальные смешанные стратегии игроков A и B со-
ответственно равны:
                                     ⎧1 1 ⎫          ⎧1 1 ⎫
                        w = 1, P 0 = ⎨ , , 0⎬, Q 0 = ⎨ , ⎬ .
                                     ⎩2 2 ⎭          ⎩2 2⎭

                                            2.3. m × n игры

       В принципе решение любой матричной игры сводится к решению стандартной задачи
линейного программирования и тем самым может быть найдено методами линейного про-
граммирования. При этом требуемый объем вычислений напрямую зависит от числа чистых
стратегий игроков (растет с его увеличением и, значит, с увеличением размеров матрицы иг-
ры). Поэтому любые приемы предварительного анализа игры, позволяющие уменьшать раз-
меры ее платежной матрицы или еще как-то упрощать эту матрицу, не нанося ущерба реше-
нию, играют на практике весьма важную роль.
       a) Правило доминирования.
       В целом ряде случаев анализ платежной матрицы обнаруживает, что некоторые чис-
тые стратегии не могут внести никакого вклада в искомые оптимальные смешанные страте-
гии. Отбрасывание подобных стратегий позволяет заменить первоначальную матрицу мат-
рицей выигрышей меньших размеров.
       Опишем одну из таких возможностей более подробно.
      Сравнение строк и столбцов матрицы
      Будем говорить, что i -я строка матрицы A
                                           ai1     ai 2 ... ain
не больше j -й строки этой матрицы
                                          a j1    a j 2 ... a jn ,
если одновременно выполнены следующие n неравенств:
                             ai1 ≤ a j1 , ai 2 ≤ a j 2 , ..., ain ≤ a jn .
При этом говорят также, что j -я строка доминирует i -ю строку или что стратегия Aj игро-
ка A доминирует стратегию Ai .
      Замечание. Игрок A поступит разумно, если будет избегать стратегий, которым в
матрице игры отвечают доминируемые строки.