Уравнения математической физики (анализ и синтез Фурье). Салехов Л.Г - 32 стр.

    dOKAZATELXSTWO. pUSTX 1 2
                                                            R R
                                  TAKOE, ^TO f < 1 < Re p I PUSTX
R| FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA , KLASSA C , RAWNAQ 1 NA OKRESTNOSTI
 + I S NOSITELEM, OGRANI^ENNYM SLEWA. tOGDA IMEEM:
      e f                         = Z (e f )( ; e
                                                                                1




                                                                                           Z
                   e   (p      )                                        (p 1 ) )dx =       e pxf (x)dx:
                                                                                                  ;




                                                                                C
        ;   1       ;       ;   1                   ;   1              ;    ;


                                            R                                              R
    pRIMER. pUSTX FUNKCIQ Y  > 0  2 ,                                         OPREDELENA FORMULOJ:
                                                   x 1
                                    Y (x) = Y (x) ;() e x
                                      
                                                                 ;
                                                                       ;
                                                                                x2  R
GDE ;() | GAMMA-FUNKCIQ.
                C
   tOGDA OBLASTX SU]ESTWOWANIQ OBRAZA lAPLASA ESTX POLUPLOSKOSTX
P := fp 2 j Re p > ;Re g I 8p 2 P IMEEM:
                                                                         1 :
                                            (LY)(p) =
                                                                     (p + )
   N.B. w \TOJ FORMULE WYBRANA TA WETWX FUNKCII (p + ) W POLUPLOS-
                                                            R
KOSTI P , KOTORAQ STROGO POLOVITELXNA DLQ (p + ) DEJSTWITELXNYH.
   dOKAZATELXSTWO. dLQ  2 , GDE  < ;Re , OBOB]ENNAQ FUNK-
CIQ, POROVDAEMAQ FUNKCIEJ Ye  , NE QWLQETSQ OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ
MEDLENNOGO ROSTA. s DRUGOJ STORONY, DLQ  2 , GDE  > ;Re , MERA
                                                            ;




rADONA, POROVDAEMAQ FUNKCIEJ Y, ESTX MERA MEDLENNOGO ROSTA, TO ESTX
                                                                                    R
OBOB]ENNAQ FUNKCIQ MEDLENNOGO ROSTA.
   iTAK, MY TOLXKO ^TO POKAZALI, ^TO ABSCISSA SU]ESTWOWANIQ OBRAZA
lAPLASA DLQ Y ESTX ;Re .
                                        C
   pUSTX TEPERX p 2 , GDE Re p > ;Re . tOGDA, W SILU TOLXKO ^TO
DOKAZANNOJ TEOREMY, IMEEM:
              Z x                  1                                                    Z
                                                                                     i arg(p+)1



                                 e xe pxdx = 1  1
                        1



     LY (p) =
                                ;
                                       ;       ;
                                                                                                      z  1e z dz:
                                                                                                        ;   ;
                           ;()             (p + ) ;()
                    0                                                                      0
i, W SILU TEOREMY O WY^ETAH, POSLEDNIJ INTEGRAL RAWEN
                                            Z   1



                                                    x 1 e xdx = ;():
                                                        ;   ;




                                            0

                        N C                                 R
   pRIWEDEM W ZAKL@^ENIE TABLICU NEKOTORYH PREOBRAZOWANIJ lAPLASA,
W KOTOROJ m 2  a 2  !  2 .
                                                                32