Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

 kraewye zada~i w prostranstwah sobolewa
                      zADA^A dIRIHLE
                        I.
         DLQ MODIFICIROWANNOGO OPERATORA lAPLASA.
   10) pOSTANOWKA ZADA^I.
   pUSTX  | NEKOTOROE OTKRYTOE MNOVESTWO. zADADIM OBOB]ENNU@
FUNKCI@ f 2 H ;1 () I FUNKCI@ (KLASS FUNKCIJ) a 2 HP1(). rAS    -
SMOTRIM DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR A = I ; , GDE  = i=1 @x2 |
                                                           n  @ 2


OPERATOR lAPLASA, I | TOVDESTWENNYJ OPERATOR.                    i



   i]ETSQ FUNKCIQ u 2 H 1(), UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@ Au = f
NA  W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ I TAKAQ, ^TO (u ; a) ESTX \LEMENT
IZ H01().
   20) tEOREMA EDINSTWENNOSTI. pOSTAWLENNAQ ZADA^A MOVET
IMETX NE BOLEE ODNOGO REENIQ.

                                                                N
    dOKAZATELXSTWO. pUSTX u1 I u2 | DWA REENIQ ZADA^I dIRIHLE.
pOLOVIM u = u1;u2  TOGDA u ESTX REENIE URAWNENIQ u = 0. sOGLASNO
TEOREME OB ORTOGONALXNOM DOPOLNENII DLQ H0k () W H k () k 2  u
ESTX \LEMENT, PRINADLEVA]IJ ORTOGONALXNOMU DOPOLNENI@ DLQ H01().
nO, S DRUGOJ STORONY, u 2 H01(). sLEDOWATELXNO, u = 0.
    30) tEOREMA SU]ESTWOWANIQ. pOSTAWLENNAQ ZADA^A OBLADAET
REENIEM.
    dOKAZATELXSTWO. pOLOVIM v = u ; a. tOGDA ZADA^A SWODITSQ K
OTYSKANI@ FUNKCII v 2 H01(), UDOWLETWORQ@]EJ URAWNENI@ Av =
f ; Aa. w SILU TEOREMY O STRUKTURE \LEMENTA IZ H ;k (), O^EWIDNO,
Aa 2 H ;1(). a TOGDA I f ; Aa 2 H ;1 (). nO OPERATOR A QWLQETSQ
IZOMETRI^ESKIM IZOMORFIZMOM H01() NA H ;1(). pUSTX G | OBRATNYJ
IZOMORFIZM. tOGDA v = G(f ; Aa) I, SLEDOWATELXNO, u = a + Gf ; GAa.
oPERATOR G NAZYWAETSQ OPERATOROM gRINA RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I.
    N.B. kOGDA u ; a 2 H01(), TO GOWORQT, ^TO u I a RAWNY NA GRANICE
W OBOB]ENNOM SMYSLE.
    |TA FORMALXNAQ INTERPRETACIQ STANOWITSQ STROGOJ, KOGDA, NAPRI-
MER,  ESTX POLUPROSTRANSTWO. w \TOM SLU^AE IZWESTNO, ^TO OTOBRAVE-
NIE-SLED 0 PREOBRAZUET H 1() NA H 1=2(@ ). sLEDOWATELXNO, DLQ WSQ-
KOJ FUNKCII b IZ H 1=2(@ ) SU]ESTWUET \LEMENT a 2 H 1() TAKOJ, ^TO
0 a = b:
    pO\TOMU MOVNO SFORMULIROWATX SLEDU@]U@ TEOREMU.
                                  3

Страницы