Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 5 стр.

        dOKAZATELXSTWO. pREVDE WSEGO, GA OTOBRAVAET H 1() NA H01(),
IBO A OTOBRAVAET H01() NA H ;1 (). zATEM, ESLI u 2 H 1(), TO A(u ;
GAu) = 0. a \TO OZNA^AET, ^TO (u ; GAu) PRINADLEVIT ORTOGONALXNOMU
DOPOLNENI@ DLQ H01().
   c) oPERATOR gRINA G QWLQETSQ POLOVITELXNYM IZ L2() W L2()
SAMOSOPRQVENNYM SVIMA@]IM IN_EKTIWNYM OPERATOROM              .

   dOKAZATELXSTWO. pOKAVEM, ^TO G QWLQETSQ SAMOSOPRQVENNYM,
POLOVITELXNYM IZ L2() W L2(), IBO OSTALXNYE UTWERVDENIQ O^E-
WIDNY. iTAK, POKAVEM, ^TO (Gf jg)L = (f jGg)L (I POLOVITELXNO, ESLI
f = g) ILI, ^TO WSE RAWNO, POLAGAQ Gf = u 2 H01() Gg = v 2 H01(),
                                     2             2



(ujAv)L = (Aujv)L (I POLOVITELXNO, ESLI u = v). nO POSLEDNEE RAWEN-
              2         2

STWO WYTEKAET IZ LEMMY OB \NERGII.
   d) eSLI  OGRANI^ENNOE MNOVESTWO TO OPERATOR gRINA QW
                    |                          ,                     -

LQETSQ KOMPAKTNYM WPOLNE NEPRERYWNYM OPERATOROM IZ L2() W
                            (                  )

L ().
    2

        dOKAZATELXSTWO. oPERATOR G NEPRERYWNO OTOBRAVAET H ;1() W
H01(). tEM BOLEE G NEPRERYWNO OTOBRAVAET L2() W H01(). nO, W SILU
TEOREMY rELIHA-kONDRAOWA, WLOVENIE H01() W L2() QWLQETSQ KOM-
PAKTNYM, ESLI  | OGRANI^ENNOE MNOVESTWO.
   N.B. sWOJSTWA c) I d) OSTA@TSQ WERNYMI, ESLI ZAMENITX L2() NA
H01().


                                          R
        II.   zADA^A {TURMA-lIUWILLQ DLQ OPERATORA lAPLASA.
        10) pOSTANOWKA ZADA^I.
        pUSTX  | OTKRYTOE MNOVESTWO IZ       n. nAJTI TO^E^NYJ SPEKTR
 TO ESTX MNOVESTWO SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ) I SOBSTWENNYE FUNK-
CII OPERATORA (;) W H ;1(), ESLI OBLASTX@ OPREDELENIQ OPERATORA
(



(;) QWLQETSQ PROSTRANSTWO H01().
        20) sPEKTRALXNAQ TEOREMA.
                                                          R
        pUSTX  | OTKRYTOE, OGRANI^ENNOE MNOVESTWO IZ n. tOGDA:
        a) TO^E^NYJ SPEKTR p DLQ (;) NEPUST I S^ETEN SOBSTWENNYE
ZNA^ENIQ DEJSTWITELXNY I STROGO POLOVITELXNY EDINSTWENNAQ WOZ-
MOVNAQ TO^KA SGU]ENIQ DLQ p ESTX +1.
   b) DWE SOBSTWENNYE FUNKCII, SOOTWETSTWU@]IE DWUM RAZLI^NYM
SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM, ORTOGONALXNY W L2(), W H01() I W H ;1()
SISTEMA SOBSTWENNYH FUNKCIJ QWLQETSQ POLNOJ W L2(), W H01() I W
                                    5