Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 4 стр.

   tEOREMA. pUSTX  := x         R
                       f 2 njxn > 0 I f 2 H ; () b 2 H = (@)
tOGDA SU]ESTWUET I PRITOM EDINSTWENNYJ \LEMENT u 2 H () TA
                                                             1
                                                                 1
                                                                     1 2      .



KOJ ^TO u ; u = f W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA  I  u = b NA
                                                                             -

   ,                                                             0
@ .
  w DALXNEJEM PRI ISSLEDOWANII OPERATORA gRINA BUDET POLEZNA SLE-
DU@]AQ LEMMA.
  lEMMA OB \NERGII. pUSTX u v 2 H01() GDE u v 2 L2()
                                                     ,                        .

tOGDA                             Z
              (ujv)L2 = (ujv)L2 = ; (grad u grad v)dx

                                                         R
                                                                           (I )
                                         
GDE ( ) | SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW W n.
   dOKAZATELXSTWO. dLQ T 2 D0() I ' 2 D() IMEEM:
                   Xn  2      X    n         
                        @ T              @T  @'
          hT 'i = @x2i  ' = ; @xi  @xi = hT 'i :
                   i=1              i=1
a TOGDA DLQ u v 2 D() IMEEM:
                                       n 
                                       X           
                 hu vi = hu vi = ;     @u  @v
                                             i=1   @xi @xi
ILI       Z               Z                  Z
              (u)vdx =       uv dx = ; (grad u grad v)dx:
                                           

dALEE IZ PLOTNOSTI D() W H01() PO PRINCIPU NEPRERYWNOGO PRODOL-
VENIQ POLU^AEM FORMULU (I ).
  tEPERX PEREJDEM K ISSLEDOWANI@ OPERATORA gRINA.
   40) iSSLEDOWANIE OPERATORA gRINA.
   a) oPERATOR gRINA QWLQETSQ IZOMETRI^ESKIM IZOMORFIZMOM
  ;
H 1 () NA H01() PRI^EM AG ESTX TOVDESTWENNYJ OPERATOR W
H ;1 ().
   dOKAZATELXSTWO. iZWESTNO, ^TO SUVENIE OPERATORA A NA H01()
ESTX IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM H01() NA H ;1(), A G | OPERATOR
gRINA, OBRATNYJ DLQ \TOGO SUVENIQ, OTKUDA I WYTEKAET SFORMULIRO-
WANNOE SWOJSTWO OPERATORA gRINA.
   b) oPERATOR GA ESTX ORTOGONALXNYJ PROEKTOR H 1() NA H01().
                                     4