Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 6 стр.

H ;1 () BOLEE TOGO, SU]ESTWUET ORTOGONALXNYJ BAZIS SOBSTWENNYH
FUNKCIJ W L2() H01() I H ;1().
   dOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM TAKU@ VE ZADA^U {TURMA-lIUWIL-


                                                                 C
LQ DLQ OPERATORA A = I ;  (RASSMATRIWAEMAQ WYE ZADA^A {TURMA-
lIUWILLQ DLQ OPERATORA (;) K NEJ, O^EWIDNO, SWODITSQ).
   pO\TOMU RASSMOTRIM URAWNENIE Au = u, GDE u 2 H01() 2 .
sOGLASNO TEOREME EDINSTWENNOSTI DLQ MODIFICIROWANNOGO URAWNENIQ
lAPLASA, = 0 NE QWLQETSQ SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM OPERATORA A. pUSTX
G | OPERATOR gRINA DLQ OPERATORA A. tOGDA, POLAGAQ = 1= , WSE
SWODITSQ K IZU^ENI@ URAWNENIQ Gw = w ( 6= 1) W PROSTRANSTWE
H ;1 (). nO REENIQ \TOGO URAWNENIQ PRINADLEVAT H01(), IBO G OTO-
BRAVAET H ;1() W H01(). sLEDOWATELXNO, DOSTATO^NO REITX \TO URAW-
NENIE W PROSTRANSTWE H01(), ILI, ESLI VELAEM, W PROSTRANSTWE L2().
w SILU IZU^ENNYH SWOJSTW, G ESTX NEPRERYWNYJ OPERATOR IZ L2()
W L2(), KOMPAKTNYJ, POLOVITELXNYJ, SAMOSOPRQVENNYJ. a TOGDA IZ
SPEKTRALXNOJ TEORII TAKIH OPERATOROW W GILXBERTOWYH PROSTRAN         -

STWAH IZWESTNO ^TO
               ,    :

   1) oPERATOR G IMEET PO KRAJNEJ MERE ODNO SOBSTWENNOE NENULEWOE
ZNA^ENIE I SAMOE BOLXEE S^ETNOE MNOVESTWO SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ
\TI SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ WE]ESTWENNY, STROGO POLOVITELXNY I MAVO-
RIROWANY EDINICEJ EDINSTWENNAQ WOZMOVNAQ IH TO^KA SGU]ENIQ ESTX
0.
   2) dWE SOBSTWENNYE FUNKCII, SOOTWETSTWU@]IE DWUM RAZLI^NYM
SOBSTWENNYM ZNA^ENIQM, ORTOGONALXNY SU]ESTWUET W L2() POLNAQ OR-
TONORMIROWANNAQ SISTEMA SOBSTWENNYH FUNKCIJ.
   zAMETIM, ^TO \TA SISTEMA TAKVE POLNA W H ;1 (), IBO L2() PLOTNO
W H ;1 () POSLEDNEE WYTEKAET IZ IZOMETRI^ESKOGO IZOMORFIZMA H01()
NA H ;1(). a POSKOLXKU G ESTX IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM IZ H ;1()
NA H01(), TO \TA SISTEMA POLNA W H01().
   tEPERX IZ SWOJSTW 1) I 2) DLQ G WYTEKA@T SWOJSTWA DLQ A:
   I) oPERATOR A IMEET PO KRAJNEJ MERE ODNO NENULEWOE SOBSTWENNOE
ZNA^ENIE I SAMOE BOLXEE S^ETNOE MNOVESTWO SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ
\TI ZNA^ENIQ DEJSTWITELXNY I OGRANI^ENY SNIZU EDINICEJ EDINSTWEN-
NAQ WOZMOVNAQ IH TO^KA SGU]ENIQ +1:
   II) sU]ESTWUET W L2(), W H01() I W H ;1() ORTOGONALXNYJ BAZIS
SOBSTWENNYH FUNKCIJ.
   uVE W SILU 2) IMEEM, ^TO \TOT BAZIS ORTOGONALEN W L2(). pOKAVEM,
                                 6