Уравнения математической физики (краевые задачи в пространствах Соболева). Салехов Л.Г - 7 стр.

^TO ON ORTOGONALEN W H01() I W H ;1().
  w SILU LEMMY OB \NERGII IMEEM:
                  (ujv)H01() = (Aujv)L2() = (ujv)L2():
oTKUDA WYTEKAET ORTOGONALXNOSTX W H01(). s DRUGOJ STORONY,
       (ujv)H ;1() = (GujGv)H01() = ( uj v)H01() = 2(ujv)H01() 
^TO WLE^ET ORTOGONALXNOSTX \TOGO BAZISA W H ;1().
   oSTALOSX POKAZATX, ^TO 1 NE QWLQETSQ SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM DLQ
OPERATORA A, TO ESTX, ^TO 0 NE QWLQETSQ SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM DLQ

                                                                  R
OPERATORA (;). |TO WYTEKAET IZ SLEDU@]EGO PREDLOVENIQ, KOTOROE
PREDSTAWLQET I SAMOSTOQTELXNYJ INTERES.
   pREDLOVENIE. pUSTX  | L@BOE OTKRYTOE MNOVESTWO IZ n.
tOGDA NE SU]ESTWUET DRUGOGO REENIQ U URAWNENIQ lAPLASA u = 0,
TAKOGO, ^TO u 2 H01(), KROME TRIWIALXNOGO.
   dOKAZATELXSTWO. pUSTX u 2 H01() I TAKOE, ^TO u = 0. tOGDA PO
LEMME OB \NERGII
                   Z
                       jgrad uj dx = ;(uju)L
                             2
                                            2 ()   = 0:
                   

oTS@DA grad u = 0 PO^TI WS@DU NA . pUSTX


              R                  ^ R
                               u NA 
                          u~ = 0 NA n n :
                                                           RR
tOGDA u~ 2 H 1( n) I grad u~ = grad u = 0 PO^TI WS@DU NA n. oTKUDA
                                                                   ()

SLEDUET, ^TO u~ ESTX POSTOQNNAQ PO^TI WS@DU. a TAK KAK u~ 2 L2( n), TO
\TA POSTOQNNAQ DOLVNA BYTX NULEM. sLEDOWATELXNO, u = 0 NA  PO^TI
WS@DU.
  nERAWENSTWO fRIDRIHSA.
                                           R
   pUSTX  | OTKRYTOE MNOVESTWO IZ n, OGRANI^ENNOE W OPREDE-
LENNOM NAPRAWLENII. tOGDA SU]ESTWUET KONSTANTA K (ZAWISQ]AQ OT
) TAKAQ, ^TO DLQ WSQKOJ u 2 H01() IMEET MESTO NERAWENSTWO, NA-
ZYWAEMOE NERAWENSTWOM fRIDRIHSA:
                Z                ZX n          2
                   ju(x)j2dx 6 K        @u( x)   dx:
                                   i=1
                                           @xi
                                   

                                    7