Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(ξ)
=
1
2π
R
R
|x|
=R
|ξ|
2
−R
2
|ξ−y|
2
f(y)dS
y
+
1
2π
R
|x|≥R
F (x)
ln
|ξ|
R
|x−ξ
1
|
|x−ξ|
dx,
ξ
1
=
R
2
|ξ|
2
ξ
.
22.4. Построить функцию
Грина для полукруга Ω = {| x |<
R, x
2
> 0}
О т в е т :
G =
1
2π
ln
|z−
¯
ζ||R
2
−z
¯
ζ|
|z−ζ||R
2
−z
ζ|
.
Д о
м а ш н е е з а д а н и е
22.5. Построить функцию Грина для четверти круга
Ω = {| x |< R, x
1
> 0, x
2
> 0}.
О т в е т :
G =
1
2π
ln
|z
2
−
¯
ζ
2
||R
4
−(z
¯
ζ)
2
|
|z
2
−ζ
2
||R
4
−(z
ζ)
2
|
.
22.6. Найти решение
задачи Дирихле для уравнения ∆U =
0, 0 < x
2
< π с граничным условием U |
∂Ω
= f(y).
У к а з а н и е. Построив функцию Грина методом конформ-
ного отображения, получим G =
1
4π
ln
|e
z
−e
¯
ζ
|
2
|e
z
−e
ζ
|
2
.
О
т в
е т :
U =
P
1
k=0
1
π
e
ξ
1
sin ξ
2
R
∞
−∞
f(y
1
,k
π)e
−y
1
dy
1
e
2(ξ
1
−y
1
)
−2e
ξ
1
−y
1
cos(ξ
2
−k
π)+1
.
22.7. Построить функцию
Грина для полуполосы Ω = {0 < x
2
<
π, x
1
> 0}
О т в е т :
G =
1
2π
ln |
c
h z−c
h
¯
ζ
c
h z−c
h ζ
| .
22.8. Найти решение уравнения (1) в круге Ω = {| x |< R} при
граничном условии
U
|
|x|=R
=
f
(
y
)
.
О т в е т :
U =
1
2π
R
R
|x|
=R
R
2
−|ξ|
2
|ξ−y|
2
f(y)dS
y
+
1
2π
R
|x|≤R
F (x)
ln
|ξ|
R
|x−ξ
1
|
x−ξ
dx.
148
                       1
                                R        |ξ|2 −R2                1
                                                                     R                      1
                                                                                        |ξ| |x−ξ |   1
          U (ξ) =     2πR                 |ξ−y|2 f (y)dSy   +   2π       |x|≥R F (x) ln R |x−ξ| dx, ξ =
                               |x|=R
  2
R
|ξ|2 ξ.

      22.4. Построить функцию Грина для полукруга Ω = {| x |<
R, x2 > 0}
      Ответ:
                                     2
                1      |z−ζ̄||R −z ζ̄|
          G=   2π   ln |z−ζ||R 2 −zζ| .



                       Д о м а ш н е е                      з а д а н и е
          22.5. Построить функцию Грина для четверти круга
          Ω = {| x |< R, x1 > 0, x2 > 0}.
          Ответ:
                1          2    ¯2       4
                       |z −ζ ||R −(z ζ̄) |        2
          G=   2π   ln |z 2 −ζ 2 ||R4 −(zζ)2 | .


      22.6. Найти решение задачи Дирихле для уравнения ∆U =
0, 0 < x2 < π с граничным условием U |∂Ω = f (y).
      У к а з а н и е. Построив функцию Грина методом конформ-
                                                 z
                                                   −eζ̄ |2
ного отображения, получим G = 4π       1
                                           ln |e
                                              |e −eζ |2
                                                 z         .
      Ответ:
           P                R∞              (y1 ,kπ)e−y1 dy1
      U = 1k=0 π1 eξ1 sin ξ2 −∞ e2(ξ1 −y1 )f−2e ξ1 −y1 cos(ξ −kπ)+1 .
                                                             2


      22.7. Построить функцию Грина для полуполосы Ω = {0 < x2 <
π, x1 > 0}
      Ответ:
                1          ch z−ch ζ̄
          G=   2π   ln |   ch z−ch ζ         |.

     22.8. Найти решение уравнения (1) в круге Ω = {| x |< R} при
граничном условии U ||x|=R = f (y).
     Ответ:
           1
             R      R2 −|ξ|2              1
                                            R              |ξ| |x−ξ 1 |
     U = 2πR  |x|=R |ξ−y| 2  f (y)dS y + 2π |x|≤R F (x) ln R x−ξ dx.




                                                      148

Страницы