ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
г
де ϕ
1
(z
, ζ) 6= 0, ∞, поэтому имеем
G(z, ζ) =
1
2π
ln
1
| z −ζ |
+
1
2π
ln
1
| ϕ
1
(z
,
ζ) |
.
Но | z − ζ |
=| x − ξ |, а
1
2π
ln
1
|ϕ
1
(z
,ζ)|
= Re[
1
2π
ln
1
ϕ
1
(z
,ζ)
] - гармоническая
функция двух переменных x
1
, x
2
как вещественная часть аналитиче-
ской функции
1
2π
ln
1
ϕ
1
(z
,ζ)
.
Покаж
ем теперь, что
G(z, ζ) |
∂Ω
= 0 (4)
Так как при отображении w = ϕ(z, ζ) точкам ∂Ω соответствуют точки
единичной окружности | w |= 1, то | ϕ(z, ζ) ||
∂Ω
= 1, поэтому выпол-
няется (4).
Замечание. Пусть ω = ω(z) - функция, конформно отбражающая
Ω на | ω |< 1, тогда функция
ϕ(z, ζ) =
ω(z) − ω(ζ)
1 − ω(z)ω(ζ)
.
З
а д
а ч и
22.1. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
для полуплоскости
¯
Ω = {x
2
≥ 0}, если
U |
x
2
=0
=
½
1, x
1
≥ a
0, x
1
< a
Р е ш е н и е. Построим функцию Грина методом электро-
статических изображений. Поместим в точку ξ(ξ
1
, ξ
2
) ∈ Ω заряд e = 1.
В точку ξ
1
(ξ
1
, −ξ
2
) поместим заряд e = −1, тогда
G(x, ξ) =
1
2π
[ln
1
| x − ξ |
− ln
1
| x − ξ
1
|
]
∂
G(y
, ξ)
∂
n
y
= −
∂G
∂
x
2
|
x
2
=0
=
1
4π
∂
∂
x
2
[ln | x − ξ |
2
−ln | x − ξ
1
|
2
] |
x
2
=0
= −
1
π
ξ
2
(y
1
− ξ
1
)
2
+ ξ
2
2
. (5)
По
дставляя
(5) в (2), получим решение задачи
146
.
,
где ϕ1 (z, ζ) 6= 0, ∞, поэтому имеем
1 1 1 1
G(z, ζ) = ln + ln .
2π | z − ζ | 2π | ϕ1 (z, ζ) |
1 1 1 1
Но | z − ζ |=| x − ξ |, а 2π ln |ϕ1 (z,ζ)| = Re[ 2π ln ϕ1 (z,ζ) ] - гармоническая
функция двух переменных x1 , x2 как вещественная часть аналитиче-
1 1
ской функции 2π ln ϕ1 (z,ζ) .
Покажем теперь, что
G(z, ζ) |∂Ω = 0 (4)
Так как при отображении w = ϕ(z, ζ) точкам ∂Ω соответствуют точки
единичной окружности | w |= 1, то | ϕ(z, ζ) ||∂Ω = 1, поэтому выпол-
няется (4).
Замечание. Пусть ω = ω(z) - функция, конформно отбражающая
Ω на | ω |< 1, тогда функция
ω(z) − ω(ζ)
ϕ(z, ζ) = .
1 − ω(z)ω(ζ)
З а д а ч и
22.1. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
для полуплоскости Ω̄ = {x2 ≥ 0}, если
½
1, x ≥ a
U |x2 =0 = 0, x1 < a .
1
Р е ш е н и е. Построим функцию Грина методом электро-
статических изображений. Поместим в точку ξ(ξ1 , ξ2 ) ∈ Ω заряд e = 1.
В точку ξ 1 (ξ1 , −ξ2 ) поместим заряд e = −1, тогда
1 1 1
G(x, ξ) = [ln − ln ],
2π | x − ξ | | x − ξ1 |
∂G(y, ξ) ∂G
=− |x =0 =
∂ny ∂x2 2
1 ∂ 1 ξ2
[ln | x − ξ |2 − ln | x − ξ 1 |2 ] |x2 =0 = − . (5)
4π ∂x2 π (y1 − ξ1 )2 + ξ22
Подставляя (5) в (2), получим решение задачи
146
