Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Если
существует
решение задачи U(x) ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(
¯
Ω), то оно опре-
деляется так же, как и при n = 3, формулой
U(ξ) = −
Z
∂Ω
∂G(y, ξ)
∂
n
y
f(y)
ds
y
+
Z
Ω
G(x, ξ)F (x)dx, (2)
где G(x, ξ) - функция Грина задачи Дирихле для области Ω, имеющая
вид
G(x, ξ) =
1
2π
ln
1
| x − ξ |
+ g(x,
ξ) (3)
и обладающая
всеми свойствами функции Грина в R
3
(см. занятие 21).
Для построения функции Грина при n = 2 можно также исполь-
зовать метод электростатических изображений, но физический смысл
отличен от случая n = 3. Если на прямой, проходящей через точку ξ
ортогонально плоскости (x
1
, x
2
), разместить положительные заряды с
единичной плотностью (имеем бесконечно длинный линейный провод-
ник), то эти заряды создадут плоскопараллельное (не зависящее от x
3
),
поле, потенциал которого в точке x(x
1
, x
2
) равен
1
2π
ln
1
|x−ξ|
. В
дальней-
шем для
краткости будем говорить, что единичный положительный
заряд помещен в точку ξ. Тогда g(x, ξ) - потенциал поля единичных
зарядов (положительных или отрицательных), расположенных вне Ω,
причем потенциал поля, созданного единичным отрицательным заря-
дом, помещенным в точку ξ
1
, равен −
1
2π
ln
1
|x−ξ
1
|
.
В
отличие
от n = 3 заряды вне Ω берутся только единичные,
поэтому с помощью этих зарядов можно добиться лишь того, чтобы
потенциал суммарного поля на ∂Ω был постоянным. Вычитая эту по-
стоянную, получим функцию Грина.
Если Ω - односвязная область с достаточно гладкой границей,
то при n = 2 для построения функции Грина очень удобным является
метод конформного отображения, основанный на связи гармонических
функций и аналитических функций комплексного переменного.
Введем комплексную плоскость C, на которой точке x(x
1
, x
2
) ∈
R
2
соответствует точка z = x
1
+ ix
2
. Тогда точке ξ(ξ
1
, ξ
2
) ∈ Ω будет
соответствовать точка ζ = ξ
1
+ iξ
2
. Пусть w = ϕ(z, ζ) - аналитиче-
ская функция комплексного переменного z, конформно отображаю-
щая область
¯
Ω на единичный круг, причем так, что ϕ(ζ, ζ) = 0. Тогда
функция Грина имеет вид
G(z, ζ) =
1
2π
ln
1
| ϕ(z
, ζ) |
.
Пок
ажем, что функция G(z, ζ) имеет вид (3). Действительно, так
как ϕ(ζ, ζ) = 0, то ϕ(z, ζ) можно представить в виде
ϕ(z, ζ) = (z − ζ)ϕ
1
(z, ζ),
145
Если существует решение задачи U (x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω̄), то оно опре-
деляется так же, как и при n = 3, формулой
                    Z                       Z
                         ∂G(y, ξ)
          U (ξ) = −               f (y)dsy + G(x, ξ)F (x)dx,        (2)
                      ∂Ω   ∂ny                Ω
где G(x, ξ) - функция Грина задачи Дирихле для области Ω, имеющая
вид
                                 1     1
                    G(x, ξ) =      ln        + g(x, ξ)                    (3)
                                2π | x − ξ |
и обладающая всеми свойствами функции Грина в R3 (см. занятие 21).
      Для построения функции Грина при n = 2 можно также исполь-
зовать метод электростатических изображений, но физический смысл
отличен от случая n = 3. Если на прямой, проходящей через точку ξ
ортогонально плоскости (x1 , x2 ), разместить положительные заряды с
единичной плотностью (имеем бесконечно длинный линейный провод-
ник), то эти заряды создадут плоскопараллельное (не зависящее от x3 ),
                                                       1      1
поле, потенциал которого в точке x(x1 , x2 ) равен 2π    ln |x−ξ| . В дальней-
шем для краткости будем говорить, что единичный положительный
заряд помещен в точку ξ. Тогда g(x, ξ) - потенциал поля единичных
зарядов (положительных или отрицательных), расположенных вне Ω,
причем потенциал поля, созданного единичным отрицательным заря-
                                        1      1
дом, помещенным в точку ξ 1 , равен − 2π  ln |x−ξ 1| .

      В отличие от n = 3 заряды вне Ω берутся только единичные,
поэтому с помощью этих зарядов можно добиться лишь того, чтобы
потенциал суммарного поля на ∂Ω был постоянным. Вычитая эту по-
стоянную, получим функцию Грина.
      Если Ω - односвязная область с достаточно гладкой границей,
то при n = 2 для построения функции Грина очень удобным является
метод конформного отображения, основанный на связи гармонических
функций и аналитических функций комплексного переменного.
      Введем комплексную плоскость C, на которой точке x(x1 , x2 ) ∈
  2
R соответствует точка z = x1 + ix2 . Тогда точке ξ(ξ1 , ξ2 ) ∈ Ω будет
соответствовать точка ζ = ξ1 + iξ2 . Пусть w = ϕ(z, ζ) - аналитиче-
ская функция комплексного переменного z, конформно отображаю-
щая область Ω̄ на единичный круг, причем так, что ϕ(ζ, ζ) = 0. Тогда
функция Грина имеет вид
                                     1     1
                        G(z, ζ) =      ln          .
                                    2π | ϕ(z, ζ) |
     Покажем, что функция G(z, ζ) имеет вид (3). Действительно, так
как ϕ(ζ, ζ) = 0, то ϕ(z, ζ) можно представить в виде

                         ϕ(z, ζ) = (z − ζ)ϕ1 (z, ζ),

                                     145

Страницы