Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

О
т в
е т :
U =
1
4π
R
R
|x|
=R
|ξ|
2
−R
2
|ξ−y|
3
f(y)ds
y
.
21.7. Р
ешить зада
чу Дирихле для уравнения Лапласа для полу-
шара
¯
Ω = {| x |≤ R, x
3
≥ 0}.
У к а з а н и е. Учесть, что в данном случае
∂Ω = (| x |≤ R, x
3
= 0) ∪ (| x |= R, x
3
> 0).
О т в е т :
U =
ξ
3
2π
R
|x|≤R
,x
3
=0
f(y
1
,
y
2
)[
1
|ξ−y|
3
−
R
3
|ξ|
3
1
|ξ
1
−y|
3
]dy
1
dy
2
+
R
2
−|ξ|
2
4π
R
R
|x|
=R,x
3
>0
f(y)[
1
|ξ−y|
3
−
1
|ξ
2
−y|
3
]ds
y
,
г
де ξ
1
, ξ
2
-
точки, симметричные точке ξ относительно сферы
| x |= R и плоскости x
3
= 0 соответственно.
21.8. Построить функцию Грина для четверти шара
Ω = {| x |< R, x
2
> 0, x
3
> 0}.
О т в е т :
G(x, ξ) = G
0
(x, ξ) − G
0
(x, ξ
2
) + G
0
(x, ξ
3
) − G
0
(x, ξ
4
), где ξ
2
- точ-
ка, симметричная точке ξ относительно плоскости x
3
= 0, ξ
3
, ξ
4
- точ-
ки, симметричные соответственно точкам ξ
1
, ξ относительно плоскости
x
2
= 0, а G
0
(x, ξ) определяется формулой (10).
З А Н Я Т И Е 22
Тема. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
(СЛУЧАЙ 2-х ПЕРЕМЕННЫХ)
Пусть область Ω ⊂ R
2
, требуется найти функцию U(x) ∈ C
2
(Ω)∩
C(
¯
Ω), удовлетворяющую в Ω уравнению
∆U ≡
2
X
i=1
∂
2
U
∂
x
2
i
= −F (
x) (1)
и на кривой ∂Ω граничному условию
U |
∂Ω
= f(y).
144
       Ответ:
            1
               R      |ξ|2 −R2
       U = 4πR  |x|=R |ξ−y|3 f (y)dsy .

       21.7. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа для полу-
шара
                             Ω̄ = {| x |≤ R, x3 ≥ 0}.
      У к а з а н и е. Учесть, что в данном случае
      ∂Ω = (| x |≤ R, x3 = 0) ∪ (| x |= R, x3 > 0).
      Ответ:
               ξ3
                  R                             1       R3       1
      U = 2π        |x|≤R,x3 =0 f (y1 , y2 )[ |ξ−y|3 − |ξ|3 |ξ 1 −y|3 ]dy1 dy2 +
       R2 −|ξ|2 R                        1          1
          4πR     |x|=R,x3 >0 f (y)[ |ξ−y|3 − |ξ 2 −y|3 ]dsy ,
где ξ 1 , ξ 2 - точки, симметричные точке ξ относительно сферы
| x |= R и плоскости x3 = 0 соответственно.
       21.8. Построить функцию Грина для четверти шара
       Ω = {| x |< R, x2 > 0, x3 > 0}.
      Ответ:
      G(x, ξ) = G0 (x, ξ) − G0 (x, ξ 2 ) + G0 (x, ξ 3 ) − G0 (x, ξ 4 ), где ξ 2 - точ-
ка, симметричная точке ξ относительно плоскости x3 = 0, ξ 3 , ξ 4 - точ-
ки, симметричные соответственно точкам ξ 1 , ξ относительно плоскости
x2 = 0, а G0 (x, ξ) определяется формулой (10).




                                З А Н Я Т И Е 22

       Тема. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
             ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
                 (СЛУЧАЙ 2-х ПЕРЕМЕННЫХ)

      Пусть область Ω ⊂ R2 , требуется найти функцию U (x) ∈ C 2 (Ω)∩
C(Ω̄), удовлетворяющую в Ω уравнению
                                    2
                                    X ∂ 2U
                            ∆U ≡                  = −F (x)                         (1)
                                     i=1
                                           ∂x2i
и на кривой ∂Ω граничному условию

                                   U |∂Ω = f (y).

                                           144

Страницы