Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

∂
G(y
, ξ)
∂
n
y
=
∂G
∂
r
|
r=R
= −
1
4π
R
R
2
− | ξ |
2
| ξ − y |
3
, (9)
г
де | ξ −y |
2
= R
2
+ | ξ |
2
−2
R | ξ | cos γ.
Учитывая теперь (9), согласно (2) получаем решение задачи
U(ξ) =
1
4π
R
R
|x|
=R
R
2
−|ξ|
2
|ξ−y|
3
f(y)ds
y
+
1
4π
R
|x|≤R
F (x)(
1
|x−ξ|
−
R
|ξ|
1
|x−ξ
1
|
)dx.
21.3. Построить
функцию Грина
для полушара
Ω = {| x |< R, x
3
> 0}.
О т в е т :
G(x, ξ) = G
0
(x, ξ) − G
0
(x, ξ
2
),
где
G
0
(x, ξ) =
1
4π
[
1
| x − ξ |
−
R
| ξ |
1
| x − ξ
1
|
]
(10)
(см.
зада
чу 21.2), а ξ
2
- точка, симметричная точке ξ относительно
плоскости x
3
= 0.
21.4. Построить функцию Грина для части пространства, заклю-
ченного между двумя параллельными плоскостями x
3
= 0 и x
3
= 1.
О т в е т :
G(x, ξ) =
1
4π
∞
X
n=−∞
[{(x
1
− ξ
1
)
2
+
(x
2
− ξ
2
)
2
+ [
x
3
− (2n + ξ
3
)]
2
}
−1/2
−
−{(x
1
− ξ
1
)
2
+ (x
2
− ξ
2
)
2
+ [x
3
− (2n − ξ
3
)
2
]}
−1/2
].
Можно показать, что ряд сходится абсолютно и равномерно.
Д о м а ш н е е з а д а н и е
21.5. Записать решение задачи Дирихле для двугранного угла
Ω = {x
2
≥ 0, x
3
≥ 0} для уравнения Лапласа.
О т в е т :
U =
ξ
2
2π
R
x
2
=0,x
3
≥0
f(y)(
1
|ξ−y|
3
−
1
|ξ
2
−y|
3
ds
y
+
ξ
3
2π
R
x
3
=0,x
2
≥0
f(y)(
1
|ξ−y|
3
−
1
|ξ
1
−y|
3
)ds
y
,
г
де ξ
1
, ξ
2
-
точки, симметричные точке ξ ∈ Ω относительно плоскостей
x
3
= 0 и x
2
= 0 соответственно.
21.6. Записать решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
для внешности шара
¯
Ω = {| x |≥ R}.
143
                     ∂G(y, ξ) ∂G            1 R 2 − | ξ |2
                             =    |r=R = −                 ,                               (9)
                       ∂ny     ∂r          4πR | ξ − y |3
где | ξ − y |2 = R2 + | ξ |2 −2R | ξ | cos γ.
       Учитывая теперь (9), согласно (2) получаем решение задачи
                 1
                   R      R2 −|ξ|2              1
                                                  R              1     R     1
       U (ξ) = 4πR  |x|=R |ξ−y|3   f (y)ds y + 4π |x|≤R F (x)( |x−ξ| − |ξ| |x−ξ 1 | )dx.

       21.3. Построить функцию Грина для полушара
       Ω = {| x |< R, x3 > 0}.
       Ответ:

                           G(x, ξ) = G0 (x, ξ) − G0 (x, ξ 2 ),
где
                             1     1       R       1
                     G0 (x, ξ) =
                               [        −                  ]    (10)
                            4π | x − ξ | | ξ | | x − ξ 1 |
(см. задачу 21.2), а ξ 2 - точка, симметричная точке ξ относительно
плоскости x3 = 0.
      21.4. Построить функцию Грина для части пространства, заклю-
ченного между двумя параллельными плоскостями x3 = 0 и x3 = 1.
       Ответ:

                 ∞
             1 X
  G(x, ξ) =         [{(x1 − ξ1 )2 + (x2 − ξ2 )2 + [x3 − (2n + ξ3 )]2 }−1/2 −
            4π n=−∞

              −{(x1 − ξ1 )2 + (x2 − ξ2 )2 + [x3 − (2n − ξ3 )2 ]}−1/2 ].

       Можно показать, что ряд сходится абсолютно и равномерно.

                    Д о м а ш н е е                 з а д а н и е
     21.5. Записать решение задачи Дирихле для двугранного угла
Ω = {x2 ≥ 0, x3 ≥ 0} для уравнения Лапласа.
          Ответ:
                 ξ2
                    R                     1           1          ξ3
                                                                    R                    1
          U = 2π     x2 =0,x3 ≥0 f (y)( |ξ−y| 3 −   2
                                                  |ξ −y|3 ds y + 2π x3 =0,x2 ≥0 f (y)( |ξ−y|3 −
     1
|ξ 1 −y|3 )dsy ,
где ξ 1 , ξ 2 - точки, симметричные точке ξ ∈ Ω относительно плоскостей
x3 = 0 и x2 = 0 соответственно.
          21.6. Записать решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
для внешности шара Ω̄ = {| x |≥ R}.

                                             143

Страницы