Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

21.2. Найти
решение зада
чи Дирихле для уравнения Пуассона
для шара
¯
Ω = {| x |≤ R}, то есть найти функцию U(x), удовлетворя-
ющую (1) при | x |< R и граничному условию
U |
|x|=R
= f(y).
Построим функцию Грина для шара. В точку ξ ∈ Ω поместим заряд
e = 1. Возьмем точку ξ
1
=
R
2
|ξ|
2
ξ
, нахо
дящуюся в инверсии с точкой
ξ относительно сферы | x |= R, то есть ξ и ξ
1
лежат на одном луче,
исходящем из начала координат 0, причем
| ξ || ξ
1
|= R
2
. (6)
В точку ξ
1
поместим заряд e
1
, тогда суммарный потенциал поля, со-
зданного зарядами e = 1, e
1
, будет
G(x, ξ) =
1
4π
[
1
| x − ξ |
+
e
1
| x − ξ
1
|
].
По
дберем величину
заряда e
1
так, чтобы
G(y, ξ) =
1
4π
[
1
| y − ξ |
+
e
1
| y − ξ
1
|
]
= 0
,
откуда получим
e
1
= −
| y − ξ
1
|
| y − ξ |
. (7)
Пок
ажем,
что правая часть (7) постоянна. Действительно,
4yoξ ∼ 4yoξ
1
, так как у них угол γ при вершине 0 - общий, а сто-
роны на основании (6) пропорциональны. Из подобия треугольников
вытекает пропорциональность других сторон.
| y − ξ
1
|
| y − ξ |
=
R
| ξ |
, (8)
причем
R
|ξ|
-
const, т
ак как ξ - фиксировано. Учитывая (7) и (8), полу-
чаем искомую функцию Грина
G(x, ξ) =
1
4π
[
1
| x − ξ |
−
R
| ξ |
1
| x − ξ
1
|
],
т
ак к
ак она удовлетворяет (3) и имеет нужный вид. Имея G(x, ξ) мож-
но записать решение задачи. Для вычисления
∂G(y,ξ)
∂
n
y
нужно учесть,
что
направление внешней нормали к сфере совпадает с направлением ра-
диуса, поэтому если x ∈ ~n
y
, то | x |= r, | x − ξ |
2
= r
2
+ | ξ |
2
−2r | ξ |
cos γ,
| x − ξ
1
|
2
= r
2
+ | ξ
1
|
2
−2r | ξ
1
| cos γ,
142
     21.2. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона
для шара Ω̄ = {| x |≤ R}, то есть найти функцию U (x), удовлетворя-
ющую (1) при | x |< R и граничному условию

                               U ||x|=R = f (y).
Построим функцию Грина для шара. В точку ξ ∈ Ω поместим заряд
                            R2
e = 1. Возьмем точку ξ 1 = |ξ|2 ξ, находящуюся в инверсии с точкой

ξ относительно сферы | x |= R, то есть ξ и ξ 1 лежат на одном луче,
исходящем из начала координат 0, причем

                               | ξ || ξ 1 |= R2 .                        (6)
В точку ξ 1 поместим заряд e1 , тогда суммарный потенциал поля, со-
зданного зарядами e = 1, e1 , будет
                          1      1        e1
                   G(x, ξ) =[        +            ].
                         4π | x − ξ | | x − ξ 1 |
Подберем величину заряда e1 так, чтобы
                              1     1         e1
                 G(y, ξ) =      [        +            ] = 0,
                             4π | y − ξ | | y − ξ 1 |
откуда получим
                                     | y − ξ1 |
                              e1 = −            .                        (7)
                                      |y−ξ |
     Покажем, что правая часть (7) постоянна. Действительно,
4yoξ ∼ 4yoξ 1 , так как у них угол γ при вершине 0 - общий, а сто-
роны на основании (6) пропорциональны. Из подобия треугольников
вытекает пропорциональность других сторон.
                              | y − ξ1 |    R
                                         =     ,                         (8)
                               |y−ξ |      |ξ|
        R
причем |ξ| - const, так как ξ - фиксировано. Учитывая (7) и (8), полу-
чаем искомую функцию Грина
                              1     1       R       1
                 G(x, ξ) =      [        −                  ],
                             4π | x − ξ | | ξ | | x − ξ 1 |
так как она удовлетворяет (3) и имеет нужный вид. Имея G(x, ξ) мож-
но записать решение задачи. Для вычисления ∂G(y,ξ)     ∂ny нужно учесть, что
направление внешней нормали к сфере совпадает с направлением ра-
диуса, поэтому если x ∈ n~y , то | x |= r, | x − ξ |2 = r2 + | ξ |2 −2r | ξ |
cos γ,
       | x − ξ 1 |2 = r2 + | ξ 1 |2 −2r | ξ 1 | cos γ,

                                      142

Страницы