Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(ξ)
= −
Z
∂Ω
∂G(y, ξ)
∂
n
y
f(y)
ds
y
+
Z
Ω
G(x, ξ)F (x)dx, (2)
где G(x, ξ) - функция Грина задачи Дирихле для области Ω,
∂G(y,ξ)
∂
n
y
-
значение
на ∂Ω производной по внешней нормали к поверхности ∂Ω в
точке y, то есть
∂G(y, ξ)
∂
n
y
=
∂G(
x, ξ)
∂
n
y
|
∂Ω
.
Функцией Грина
называется функция G(x, ξ), x ∈
Ω,
ξ ∈ Ω, об-
ладающая свойствами:
1)G
(x, ξ) =
1
4π
1
| x − ξ |
+ g(x,
ξ),
г
де g ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(
¯
Ω) по x, ∆
x
g = 0, в Ω при каждом ξ ∈ Ω, причем
для бесконечной области g(x, ξ) → 0, | x |→ ∞;
2)G(y, ξ) = 0, y ∈ ∂Ω при каждом ξ ∈ Ω; (3)
3)G(x, ξ) симметрична, то есть G(x, ξ) = G(ξ, x), x ∈ Ω, ξ ∈ Ω.
Для ряда областей, границы которых являются плоскими или
сферическими, функцию G(x, ξ) можно построить методом электро-
статических изображений, основанным на физической интерпретации
G(x, ξ). Функцию
1
4π
1
|x−ξ|
мо
жно рассматривать
как потенциал элек-
тростатического поля, созданного единичным положительным заря-
дом e = 1, помещенным в точку ξ ∈ Ω, тогда g(x, ξ) рассматривают
как потенциал поля, созданного точечными зарядами e
k
(k = 1, 2...n)
в точках ξ
k
, расположенных вне Ω, то есть
g(x, ξ) =
1
4π
n
X
k=1
e
k
| x − ξ
k
|
,
ξ
k
6∈
¯
Ω,
так
как потенциал электростатического поля в области, свободной от
зарядов, является гармонической функцией. Заряды e
k
, расположен-
ные вне Ω, надо выбирать таким образом, чтобы на поверхности ∂Ω
потенциал суммарного поля, созданного зарядами e = 1 и e
k
,был равен
нулю, так как должно выполняться условие (3). Заряды e
k
называются
электростатическими изображениями заряда e = 1. Имеется и другая
интерпретация. Считают, что ∂Ω- идеально проводящая заземленная
поверхность, сделанная из металлического листа, а g(x, ξ)- потенциал
поля зарядов, индуцированных на ∂Ω.
Таким образом, при построении G(x, ξ) нужно уметь выбирать
точки ξ
k
и заряды e
k
. В случае плоской границы точки ξ
k
являются
140
                    Z                        Z
                       ∂G(y, ξ)
          U (ξ) = −             f (y)dsy +           G(x, ξ)F (x)dx,   (2)
                    ∂Ω   ∂n y                    Ω

где G(x, ξ) - функция Грина задачи Дирихле для области Ω, ∂G(y,ξ)
                                                           ∂ny    -
значение на ∂Ω производной по внешней нормали к поверхности ∂Ω в
точке y, то есть
                        ∂G(y, ξ) ∂G(x, ξ)
                                =         |∂Ω .
                          ∂ny      ∂ny
     Функцией Грина называется функция G(x, ξ), x ∈ Ω, ξ ∈ Ω, об-
ладающая свойствами:
                                  1     1
                   1)G(x, ξ) =                + g(x, ξ),
                                 4π | x − ξ |
где g ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω̄) по x, ∆x g = 0, в Ω при каждом ξ ∈ Ω, причем
для бесконечной области g(x, ξ) → 0, | x |→ ∞;

              2)G(y, ξ) = 0, y ∈ ∂Ω при каждом ξ ∈ Ω;                  (3)


   3)G(x, ξ) симметрична, то есть G(x, ξ) = G(ξ, x), x ∈ Ω, ξ ∈ Ω.
      Для ряда областей, границы которых являются плоскими или
сферическими, функцию G(x, ξ) можно построить методом электро-
статических изображений, основанным на физической интерпретации
                     1 1
G(x, ξ). Функцию 4π   |x−ξ| можно рассматривать как потенциал элек-
тростатического поля, созданного единичным положительным заря-
дом e = 1, помещенным в точку ξ ∈ Ω, тогда g(x, ξ) рассматривают
как потенциал поля, созданного точечными зарядами ek (k = 1, 2...n)
в точках ξ k , расположенных вне Ω, то есть
                                  n
                             1 X   ek
                  g(x, ξ) =           k
                                        , ξ k 6∈ Ω̄,
                            4π   |x−ξ |
                                 k=1
так как потенциал электростатического поля в области, свободной от
зарядов, является гармонической функцией. Заряды ek , расположен-
ные вне Ω, надо выбирать таким образом, чтобы на поверхности ∂Ω
потенциал суммарного поля, созданного зарядами e = 1 и ek ,был равен
нулю, так как должно выполняться условие (3). Заряды ek называются
электростатическими изображениями заряда e = 1. Имеется и другая
интерпретация. Считают, что ∂Ω- идеально проводящая заземленная
поверхность, сделанная из металлического листа, а g(x, ξ)- потенциал
поля зарядов, индуцированных на ∂Ω.
     Таким образом, при построении G(x, ξ) нужно уметь выбирать
точки ξ k и заряды ek . В случае плоской границы точки ξ k являются

                                      140

Страницы