Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

20.6. Найти
решение зада
чи
U
t
= a
2
U
xx
, 0 < x, t < ∞,
U(x, 0) = 0, 0 < x < ∞,
U(0, t) = ϕ(t), 0 < t < ∞,
lim
x→∞
U = lim
x→∞
U
x
= 0.
У к а з а н и е. Вычисление интеграла
J =
Z
∞
0
e
−a
2
λ
2
(t−τ)
λ sin λxdλ
свести к вычислению интеграла J(β) (см. формулу (17)) путем
интегрирования по частям.
О т в е т :
U =
x
2a
√
π
R
t
0
ϕ(τ)
(t−τ)
3/2
e
−
x
2
4a
2
(t−τ)
dτ
.
З А
Н Я Т И Е 21
Тема. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА (СЛУЧАЙ 3-х ПЕРЕМЕННЫХ)
Пусть Ω ∈ R
3
, требуется найти функцию U(x) ∈ C
2
(Ω) ∩ C(
Ω),
у
довлетворяющую
в области Ω уравнению
∆U ≡
3
X
i=1
∂
2
U
∂
x
2
i
= −F (
x) (1)
и граничному условию
U |
∂Ω
= f(y),
где f ∈ C(∂Ω), F ∈ C(
¯
Ω). Если Ω - бесконечная область, то удовле-
творяющую также условию lim U(x) = 0, | x |→ ∞. Если существует
решение задачи U(x) ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(
¯
Ω), то искомая функция опреде-
ляется формулой
139
     20.6. Найти решение задачи

                         Ut = a2 Uxx , 0 < x, t < ∞,

                          U (x, 0) = 0, 0 < x < ∞,

                         U (0, t) = ϕ(t), 0 < t < ∞,

                            lim U = lim Ux = 0.
                            x→∞          x→∞
     У к а з а н и е. Вычисление интеграла
                    Z ∞
                           2 2
                 J=     e−a λ (t−τ ) λ sin λxdλ
                              0
свести к вычислению интеграла J(β) (см. формулу (17)) путем
интегрирования по частям.
     Ответ:
           x√
              R t ϕ(τ ) − 2x2
     U = 2a π 0 (t−τ )3/2 e 4a (t−τ ) dτ.




                  З А Н Я Т И Е 21
Тема. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
 ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА (СЛУЧАЙ 3-х ПЕРЕМЕННЫХ)

     Пусть Ω ∈ R3 , требуется найти функцию U (x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω),
удовлетворяющую в области Ω уравнению
                                  3
                                  X ∂ 2U
                          ∆U ≡                  = −F (x)         (1)
                                   i=1
                                         ∂x2i
и граничному условию

                                  U |∂Ω = f (y),
где f ∈ C(∂Ω), F ∈ C(Ω̄). Если Ω - бесконечная область, то удовле-
творяющую также условию lim U (x) = 0, | x |→ ∞. Если существует
решение задачи U (x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω̄), то искомая функция опреде-
ляется формулой


                                         139

Страницы