Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

√
U =
1
2a
√
π
t
∞
R
0
ϕ(ξ)[
e
−
(x−ξ)
2
4a
2
t
− e
−
(x+ξ)
2
4a
2
t
]dξ
.
Д о
м а ш н е е з а д а н и е
20.4. Найти решение задачи
U
t
= a
2
U
xx
, 0 < x, t < ∞,
U(x, 0) = ϕ(x), 0 < x < ∞
U
x
(0, t) = 0, 0 < t < ∞
lim
x→∞
U = lim
x→∞
U
x
= 0
У к а з а н и е. Применить косинус-преобразование Фурье
(3).
О т в е т :
U =
1
2a
√
π
t
∞
R
0
ϕ(ξ)[
e
−
(x−ξ)
2
4a
2
t
+ e
−
(x+ξ)
2
4a
2
t
]dξ
.
20.5. Найти решение
задачи
U
t
= a
2
U
xx
, 0 < x, t < ∞,
U(x, 0) = 0, 0 < x < ∞,
U
x
(0, t) = ϕ(t), 0 < t < ∞,
lim
x→∞
U = lim
x→∞
U
x
= 0.
У к а з а н и е. Применить косинус-преобразование Фурье
(3). Тогда для
ˆ
U
c
(λ, t) получим задачу
∂
ˆ
U
c
(λ, t)
∂
t
+ a
2
λ
2
ˆ
U
c
(λ,
t) = −a
2
2
π
ϕ(t),
ˆ
U
c
(λ, 0)
= 0.
О
т в е т :
U =
−a
√
π
t
R
0
ϕ(τ)
√
t−τ
e
−
x
2
4a
2
(t−τ)
dτ
.
138
,
,
.
                        R∞             (x−ξ)2          (x+ξ)2
       U=      1
               √
             2a πt
                             ϕ(ξ)[e−    4a2 t   − e−    4a2 t   ]dξ.
                        0

                        Д о м а ш н е е                     з а д а н и е
       20.4. Найти решение задачи

                                  Ut = a2 Uxx , 0 < x, t < ∞,

                                 U (x, 0) = ϕ(x), 0 < x < ∞ ,

                                    Ux (0, t) = 0, 0 < t < ∞ ,

                                       lim U = lim Ux = 0 .
                                       x→∞         x→∞
       У к а з а н и е. Применить косинус-преобразование Фурье
(3).
       Ответ:
             1
                R∞     − (x−ξ)
                                2
                                     − (x+ξ)
                                              2

       U = 2a πt ϕ(ξ)[e
             √            4a 2t
                                  +e    4a 2t
                                                ]dξ.
                        0

       20.5. Найти решение задачи

                                  Ut = a2 Uxx , 0 < x, t < ∞,

                                   U (x, 0) = 0, 0 < x < ∞,

                                 Ux (0, t) = ϕ(t), 0 < t < ∞,

                                       lim U = lim Ux = 0.
                                     x→∞           x→∞
      У к а з а н и е. Применить косинус-преобразование Фурье
(3). Тогда для Ûc (λ, t) получим задачу

           ∂ Ûc (λ, t)                           2
                                                                √
                        + a2 λ2 Û c (λ, t) = −a2   ϕ(t), Ûc (λ, 0) = 0.
               ∂t                                 π

       Ответ:
             −a
                   Rt                2
                        ϕ(τ ) − 4a2x(t−τ )
       U=    √
               π
                        √
                         t−τ
                             e             dτ.
                   0



                                                   138

Страницы