Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 136 стр.

UptoLike

Применяя
формулу
(2) к
ˆ
U(λ, t) и учитывая (13), получим
U(x, t) =
1
2π
Z
−∞
ˆ
U(λ,
t)
e
iλx
=
=
1
2π
Z
−∞
e
iλx
Z
t
0
ˆ
f(λ,
τ)e
a
2
λ
2
(tτ)
=
=
1
2π
Z
t
0
Z
−∞
f(ξ
, τ)
Z
−∞
e
a
2
λ
2
(tτ)
e
(ξx)
=
=
1
π
Z
t
0
Z
−∞
f(ξ
, τ)
Z
0
e
a
2
λ
2
(tτ)
cos λ(ξ x)dλ, (16)
при этом мы учли, что
e
(ξx)
= cos λ(ξ x) + i sin λ(ξ x).
Методом дифференцирования по параметру β можно вычислить ин-
теграл
J(β) =
Z
0
e
αλ
2
cos βλdλ. (17)
Действительно,
dJ
=
Z
0
λe
α
λ
2
sin βλdλ =
sin β
λe
λ
2
α
2α
β
2α
J(β),
то
есть получаем
для J(β) дифференциальное уравнение
dJ
=
β
2α
J
,
интегрируя
которое имеем
J(β) = Ce
β
2
4α
. (18)
Полаг
ая в
(17) β = 0, получим
C = J(0) =
Z
0
e
λ
2
α
d =
π
2
α
. (19)
Из
(18) с
учетом (19) будем иметь
J(β) =
π
2
α
e
β
2
4α
. (20)
136
λ
Применяя формулу (2) к Û (λ, t) и учитывая (13), получим
                                                        Z∞
                               1
                   U (x, t) = √                                 Û (λ, t)e−iλx dλ =
                                2π
                                                    −∞

                              Z∞                    Z       t
                 1
                                                                fˆ(λ, τ )e−a λ (t−τ ) dτ =
                                                                            2 2
                                        −iλx
               =√                   e          dλ
                 2π                                     0
                              −∞
              Z tZ ∞                 Z ∞
            1                                 2 2
         =            f (ξ, τ )dξdτ      e−a λ (t−τ ) eiλ(ξ−x) dλ =
           2π 0 −∞                    −∞
            Z tZ ∞                Z ∞
          1                               2 2
        =          f (ξ, τ )dξdτ       e−a λ (t−τ ) cos λ(ξ − x)dλ,                                    (16)
          π 0 −∞                   0
при этом мы учли, что

                 eiλ(ξ−x) = cos λ(ξ − x) + i sin λ(ξ − x).
Методом дифференцирования по параметру β можно вычислить ин-
теграл
                         Z ∞
                                 2
                  J(β) =     e−αλ cos βλdλ.             (17)
                                                0
Действительно,

                  Z       ∞                                                     2
         dJ                        −αλ2              sin βλe−λ                      α
                                                                                             β
            =−                λe          sin βλdλ =                                    −      J(β),
         dβ           0                                   2α                                2α
то есть получаем для J(β) дифференциальное уравнение
                                           dJ     β
                                              = − J,
                                           dβ    2α
интегрируя которое имеем
                                                                     β2
                                          J(β) = Ce− 4α .                                              (18)
Полагая в (17) β = 0, получим
                                                Z       ∞                     √
                                                                 −λ2 α          π
                      C = J(0) =                                e        dλ = √ .                      (19)
                                                    0                        2 α
Из (18) с учетом (19) будем иметь
                                               √
                                                π β2
                                        J(β) = √ e− 4α .                                               (20)
                                              2 α

                                                        136