ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Применяя
формулу
(2) к
ˆ
U(λ, t) и учитывая (13), получим
U(x, t) =
1
√
2π
∞
Z
−∞
ˆ
U(λ,
t)
e
−iλx
dλ =
=
1
√
2π
∞
Z
−∞
e
−iλx
dλ
Z
t
0
ˆ
f(λ,
τ)e
−
a
2
λ
2
(t−τ)
dτ =
=
1
2π
Z
t
0
Z
∞
−∞
f(ξ
, τ)dξdτ
Z
∞
−∞
e
−a
2
λ
2
(t−τ)
e
iλ(ξ−x)
dλ =
=
1
π
Z
t
0
Z
∞
−∞
f(ξ
, τ)
dξdτ
Z
∞
0
e
−a
2
λ
2
(t−τ)
cos λ(ξ − x)dλ, (16)
при этом мы учли, что
e
iλ(ξ−x)
= cos λ(ξ − x) + i sin λ(ξ − x).
Методом дифференцирования по параметру β можно вычислить ин-
теграл
J(β) =
Z
∞
0
e
−αλ
2
cos βλdλ. (17)
Действительно,
dJ
dβ
= −
Z
∞
0
λe
−α
λ
2
sin βλdλ =
sin β
λe
−λ
2
α
2α
−
β
2α
J(β),
то
есть получаем
для J(β) дифференциальное уравнение
dJ
dβ
= −
β
2α
J
,
интегрируя
которое имеем
J(β) = Ce
−
β
2
4α
. (18)
Полаг
ая в
(17) β = 0, получим
C = J(0) =
Z
∞
0
e
−λ
2
α
d =
√
π
2
√
α
. (19)
Из
(18) с
учетом (19) будем иметь
J(β) =
√
π
2
√
α
e
−
β
2
4α
. (20)
136
λ
Применяя формулу (2) к Û (λ, t) и учитывая (13), получим Z∞ 1 U (x, t) = √ Û (λ, t)e−iλx dλ = 2π −∞ Z∞ Z t 1 fˆ(λ, τ )e−a λ (t−τ ) dτ = 2 2 −iλx =√ e dλ 2π 0 −∞ Z tZ ∞ Z ∞ 1 2 2 = f (ξ, τ )dξdτ e−a λ (t−τ ) eiλ(ξ−x) dλ = 2π 0 −∞ −∞ Z tZ ∞ Z ∞ 1 2 2 = f (ξ, τ )dξdτ e−a λ (t−τ ) cos λ(ξ − x)dλ, (16) π 0 −∞ 0 при этом мы учли, что eiλ(ξ−x) = cos λ(ξ − x) + i sin λ(ξ − x). Методом дифференцирования по параметру β можно вычислить ин- теграл Z ∞ 2 J(β) = e−αλ cos βλdλ. (17) 0 Действительно, Z ∞ 2 dJ −αλ2 sin βλe−λ α β =− λe sin βλdλ = − J(β), dβ 0 2α 2α то есть получаем для J(β) дифференциальное уравнение dJ β = − J, dβ 2α интегрируя которое имеем β2 J(β) = Ce− 4α . (18) Полагая в (17) β = 0, получим Z ∞ √ −λ2 α π C = J(0) = e dλ = √ . (19) 0 2 α Из (18) с учетом (19) будем иметь √ π β2 J(β) = √ e− 4α . (20) 2 α 136
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- …
- следующая ›
- последняя »