Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

f(x)
=
r
2
π
∞
Z
0
ˆ
f
c
(λ)
cos λxdλ, f(
x) =
r
2
π
∞
Z
0
ˆ
f
s
(λ)
sin λxdλ (4)
обратными к
ним.
Для решения краевой задачи методом интегральных преобра-
зований относительно функции U(x, t) вводят по переменному x ее
преобразование Фурье
ˆ
U(λ, t). Затем переходят к задаче для обра-
за
ˆ
U(λ, t), причем эта задача является более простой, чем исходная.
Найдя
ˆ
U(λ, t), с помощью обратного преобразования восстанавливают
искомую функцию U(x, t). При решении задачи на полупрямой в ка-
честве ядра интегрального преобразования нужно брать такую функ-
цию, которая удовлетворяет соответствующему однородному гранич-
ному условию задачи.
З а д а ч и
20.1. Найти решение задачи
U
t
= a
2
U
xx
+ f(x, t), −∞ < x < ∞, t > 0 (5)
U(x, 0) = 0, −∞ < x < ∞ (6
0
)
lim
x→±∞
U = lim
x→±∞
U
x
= 0 (7)
Р е ш е н и е. Условия (7) в практических задачах обычно
выполняются. Считая t параметром, введем по переменному x преоб-
разование Фурье функции U(x, t) по формуле (1)
ˆ
U(λ, t) =
1
√
2π
Z
∞
−∞
U(ξ
, t)
e
iλξ
dξ. (8)
Считая, что задача (5), (6
0
), (7) разрешима и U(x, t) - ее решение, най-
дем уравнение и дополнительные условия, которым должна удовлетво-
рять
ˆ
U(λ, t). Для этого заменим в тождестве (5) x на ξ, умножим обе
части на
1
√
2π
e
iλξ
и
проинтегрируем
по интервалу (−∞, ∞)
1
√
2π
∞
Z
−∞
U
t
(ξ
, t)
e
iλξ
dξ =
a
2
√
2π
∞
Z
−∞
U
ξ
ξ
(ξ
, t)e
iλξ
dξ +
1
√
2π
∞
Z
−∞
f(ξ
, t)
e
iλξ
dξ
(9)
134
.
,
,
.
                r Z∞                           r Z∞
                 2                              2
        f (x) =      fˆc (λ) cos λxdλ, f (x) =      fˆs (λ) sin λxdλ                     (4)
                 π                              π
                       0                                    0
обратными к ним.
       Для решения краевой задачи методом интегральных преобра-
зований относительно функции U (x, t) вводят по переменному x ее
преобразование Фурье Û (λ, t). Затем переходят к задаче для обра-
за Û (λ, t), причем эта задача является более простой, чем исходная.
Найдя Û (λ, t), с помощью обратного преобразования восстанавливают
искомую функцию U (x, t). При решении задачи на полупрямой в ка-
честве ядра интегрального преобразования нужно брать такую функ-
цию, которая удовлетворяет соответствующему однородному гранич-
ному условию задачи.

                                  З а д а ч и

        20.1. Найти решение задачи

                   Ut = a2 Uxx + f (x, t), −∞ < x < ∞, t > 0 ,                           (5)

                           U (x, 0) = 0, −∞ < x < ∞ ,                                  (60 )

                              lim U = lim Ux = 0 .                                       (7)
                             x→±∞            x→±∞
     Р е ш е н и е. Условия (7) в практических задачах обычно
выполняются. Считая t параметром, введем по переменному x преоб-
разование Фурье функции U (x, t) по формуле (1)
                                      Z ∞
                                  1
                     Û (λ, t) = √        U (ξ, t)eiλξ dξ.             (8)
                                   2π −∞
Считая, что задача (5), (60 ), (7) разрешима и U (x, t) - ее решение, най-
дем уравнение и дополнительные условия, которым должна удовлетво-
рять Û (λ, t). Для этого заменим в тождестве (5) x на ξ, умножим обе
части на
                                     1
                                   √ eiλξ
                                     2π
и проинтегрируем по интервалу (−∞, ∞)

        Z∞                             Z∞                              Z∞
  1                              a2                              1
 √           Ut (ξ, t)eiλξ dξ = √           Uξξ (ξ, t)eiλξ dξ + √           f (ξ, t)eiλξ dξ .
   2π                             2π                              2π
        −∞                             −∞                              −∞
                                                                                         (9)

                                            134

Страницы