Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(0,
t)
= O(1), U(l, t) = 0
условиям. Здесь µ
1
- первый корень функции Бесселя J
0
(x).
О т в е т:
U(r, t) = A cos
aµ
1
t
l
J
0
(
µ
1
r
l
).
19.8. Найти
решение уравнения
U
tt
=
a
2
r
(r
U
r
)
r
, 0 < r
< l, t > 0, удовлетворяющее начальным
U(r, 0) = 0, U
t
(r, 0) = r
2
и граничным условиям
U
r
(l, t) = 0, U(0, t) = O(1)
У к а з а н и е. Учесть, что λ
0
= 0 является собственным зна-
чением. При вычислении коэффициентов разложения функции U(r, t)
воспользоваться формулой (38) занятия 18 и формулой (56), дающей
решение задачи 18.14.
О т в е т:
U(r, t) =
l
2
2
t +
4l
3
a
∞
P
k=1
J
0
(
µ
k
r
l
)
sin
aµ
k
l
t
µ
3
k
J
0
(µ
k
)
19.9. Найти
решение уравнения
U
tt
=
a
2
r
(r
U
r
)
r
+ A cos ωt, 0 <
r < l, t > 0, удовлетворяющее
начальным
U(r, 0) = 0 , U
t
(r, 0) = 0
и граничным
U(l, t) = 0, U(0, t) = O(1) условиям.
О т в е т:
U(r, t) =
A
ω
2
[
J
0
(
ω
a
r)
J
0
(
ω
a
r
0
)
− 1]
cos ωt +
2Al
2
∞
X
k=1
J
0
(
µ
k
l
r)
cos
µ
k
l
at
µ
k
J
1
(µ
k
)(ω
2
l
2
− a
2
µ
2
k
)
.
19.10. Найти
функцию, у
довлетворяющую уравнению
U
tt
=
a
2
r
(r
U
r
)
r
, 0 < r
< l, t > 0, и условиям
U(r, 0) = 0, U
t
(r, 0) = 0 U(0, t) = O(1), U(l, t) = A sin ωt, A −
const.
О т в е т:
U(r, t) = A sin ωt
J
0
(
ω
a
r)
J
0
(
ω
a
l)
+
2Aaωl
∞
P
k=1
J
0
(
µ
k
l
r)
sin
aµ
k
l
t
J
1
(µ
k
)(l
2
ω
2
−µ
2
k
a
2
)
.
19.11. Исследовать
радиальное распространение
тепла в беско-
нечном круговом цилиндре радиуса r
0
, боковая поверхность которого
132
      U (0, t) = O(1), U (l, t) = 0
      условиям. Здесь µ1 - первый корень функции Бесселя J0 (x).
      О т в е т:
      U (r, t) = A cos aµl1 t J0 ( µ1l r ).
     19.8. Найти решение уравнения
              2
     Utt = ar (rUr )r , 0 < r < l, t > 0, удовлетворяющее начальным
     U (r, 0) = 0, Ut (r, 0) = r2
     и граничным условиям
     Ur (l, t) = 0, U (0, t) = O(1)
     У к а з а н и е. Учесть, что λ0 = 0 является собственным зна-
чением. При вычислении коэффициентов разложения функции U (r, t)
воспользоваться формулой (38) занятия 18 и формулой (56), дающей
решение задачи 18.14.
     О т в е т:
                          3 P J0 ( k ) sin
                            ∞     µ r       aµk
                                              l t
                 2
     U (r, t) = l2 t + 4la         l
                                  µ3 J0 (µk )
                                        k
                               k=1

     19.9. Найти решение уравнения
               2
     Utt = ar (rUr )r + A cos ωt, 0 < r < l, t > 0, удовлетворяющее
начальным
     U (r, 0) = 0, Ut (r, 0) = 0
     и граничным
     U (l, t) = 0, U (0, t) = O(1) условиям.
     О т в е т:

                                               X             ∞
              A J0 ( ωa r)                   2       J0 ( µlk r) cos µlk at
   U (r, t) = 2 [ ω        − 1] cos ωt + 2Al                                   .
             ω J0 ( a r0 )                       µk J1 (µk )(ω 2 l2 − a2 µ2k )
                                                            k=1


      19.10. Найти функцию, удовлетворяющую уравнению
              2
      Utt = ar (rUr )r , 0 < r < l, t > 0, и условиям
      U (r, 0) = 0, Ut (r, 0) = 0 U (0, t) = O(1), U (l, t) = A sin ωt, A −
const.
      О т в е т:
                                  ω                 ∞            µk        aµk
                              J ( r)                P      J0 ( l r) sin l t
      U (r, t) = A sin ωt J00 ( aω l) + 2Aaωl             J1 (µk )(l2 ω 2 −µ2k a2 )
                                                                                    .
                                  a
                                                    k=1

     19.11. Исследовать радиальное распространение тепла в беско-
нечном круговом цилиндре радиуса r0 , боковая поверхность которого



                                              132

Страницы