Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

B − const,
тогда
будем иметь B = −
A
2
. Т
аким образом,
R(
r) = C
1
J
0
(
ω
a
r)
+ C
2
Y
0
(
ω
a
r) −
A
2
.
Т
ак к
ак R(0) = O(1), полагаем C
2
= 0. Из второго условия (40) сле-
дует, что C
1
=
A
ω
2
J
0
(
ω
a
r
0
)
. Ок
ончательно получим
R(
r) =
A
ω
2
[
r
J
0
(
ω
a
r)
J
0
(
ω
a
r
0
)
− 1].
При
вычислении к
оэффициентов разложения W (r, t) необходимо вос-
пользоваться формулами (24) и (48) занятия 18.
О т в е т:
U(r, t) = V (r, t) + W (r, t) =
=
A
ω
2
[
r
J
0
(
ω
a
r)
J
0
(
ω
a
r
0
)
− 1]
sin ωt +
2
Aωr
3
0
a
·
P
∞
k=1
J
0
(
µ
k
r
0
r)
sin
µ
k
r
0
at
µ
2
k
J
1
(µ
k
)(ω
2
r
2
0
−a
2
µ
2
k
)
.
19.6. Дан
неограниченный круговой
цилиндр радиуса r
0
при за-
данном радиальном распределении температуры ϕ(r) в начальный мо-
мент времени t = 0. Найти распределение температуры внутри цилин-
дра в любой момент времени, если на его боковой поверхности под-
держивается температура, равная нулю. Рассмотреть частный случай,
когда ϕ(r) ≡ T - const.
У к а з а н и е. См. занятие 15. Задача сводится к интегри-
рованию уравнения
U
t
= a
2
(U
rr
+
1
r
U
r
), 0 <
r <
r
0
, t > 0
при начальном условии
U(r, 0) = ϕ(r)
и граничных условиях
U(0, t) = O(1), U(r
0
, t) = 0.
О т в е т:
U(r, t) =
∞
P
k=1
a
k
J
0
(
µ
k
r
0
r)e
−(
µ
k
a
r
0
)
2
t
, г
де a
k
=
2
r
2
0
J
2
1
(µ
k
)
r
0
R
0
ϕ(r)r
J
0
(
µ
k
r
0
r)dr
.
В частном
случае: a
k
=
2T
0
µ
k
1
J
1
(µ
k
)
.
Д
о м
а ш н е е з а д а н и е
19.7. Найти решение уравнения
U
tt
=
a
2
r
(r
U
r
)
r
, 0 < r
< l, t > 0,
удовлетворяющее начальным
U(r, 0) = AJ
0
(
µ
1
l
r),
U
t
(r
, 0) = 0, A − const и граничным
131
ω
ω
B − const, тогда будем иметь B = − ωA2 . Таким образом,
                                          ω            ω    A
                            R(r) = C1 J0 ( r) + C2 Y0 ( r) − 2 .
                                          a            a    ω
Так как R(0) = O(1), полагаем C2 = 0. Из второго условия (40) сле-
дует, что C1 = ω2 J0A( ω r0 ) . Окончательно получим
                              a

                                          A rJ0 ( ωa r)
                                   R(r) = 2 [           − 1].
                                         ω J0 ( ωa r0 )
При вычислении коэффициентов разложения W (r, t) необходимо вос-
пользоваться формулами (24) и (48) занятия 18.
     О т в е т:
     U (r, t) = V (r, t) + W (r, t) =
                    ω
         A rJ0 ( a r)                        2Aωr03       P∞            µ         µk
                                                                    J0 ( r k r) sin
                                                                                  r0 at
     =      [
         ω 2 J0 ( ωa r0 )   − 1] sin ωt +      a      ·    k=1    2
                                                                          0
                                                                 µk J1 (µk )(ω r0 −a2 µ2k )
                                                                              2 2               .

     19.6. Дан неограниченный круговой цилиндр радиуса r0 при за-
данном радиальном распределении температуры ϕ(r) в начальный мо-
мент времени t = 0. Найти распределение температуры внутри цилин-
дра в любой момент времени, если на его боковой поверхности под-
держивается температура, равная нулю. Рассмотреть частный случай,
когда ϕ(r) ≡ T - const.
     У к а з а н и е. См. занятие 15. Задача сводится к интегри-
рованию уравнения
                               1
               Ut = a2 (Urr + Ur ), 0 < r < r0 , t > 0
                               r
при начальном условии
                           U (r, 0) = ϕ(r)
и граничных условиях
                                  U (0, t) = O(1), U (r0 , t) = 0.
     О т в е т:
                P
                ∞                   µk a 2                                             Rr0
     U (r, t) =   ak J0 ( µr0k r)e−( r0 ) t , где ak =                       2
                                                                       r02 J12 (µk )
                                                                                             ϕ(r)rJ0 ( µr0k r)dr.
                      k=1                                                              0
                                     2T0 1
В частном случае: ak =               µk J1 (µk ) .

                      Д о м а ш н е е                      з а д а н и е
     19.7. Найти решение уравнения
             2
     Utt = ar (rUr )r , 0 < r < l, t > 0,
     удовлетворяющее начальным
     U (r, 0) = AJ0 ( µl1 r), Ut (r, 0) = 0, A − const и граничным

                                                     131

Страницы