Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(r
, t
) =
∞
X
k=1
¯
T
k
(t)R
k
(r), (30)
где R
k
(r) = J
0
(
µ
k
r
0
r) -
собственные функции
задачи о собственных зна-
чениях (7), (8), к которой приводится решение соответствующего од-
нородного уравнения (20) при условиях (29). Собственные значения
λ
k
= (
µ
k
r
o
)
2
,
k ∈ N,
µ
k
- корни уравнения (11).
Предположим, что ряд (30) сходится равномерно и допускает
двукратное дифференцирование по r и t, тогда (30) удовлетворяет (29)
за счет выбора R
k
(r). Определим
¯
T
k
(t) так, чтобы (30) удовлетворял
(27) и (28). Подставляя (30) в (27), получим
∞
X
k=1
[
¯
T
00
k
(t) + a
2
λ
k
¯
T
k
(t)]R
k
(r) = −
P a
2
T
0
, (31)
при
этом мы
учли, что R
k
(r) является решением уравнения (7). Та-
ким образом, мы пришли к задаче разложения заданной функции
F (r) = −
P a
2
T
0
в
ряд
Фурье-Бесселя. (31) будет выполняться, если
¯
T
00
k
+ a
2
λ
k
¯
T
k
= A
k
, A
k
= −
2P a
2
T
0
J
1
(µ
k
)µ
k
, (32)
причем
для вычисления A
k
мы
использовали формулу (48) занятия
18. Подставляя (30) в (28), получим
¯
T
k
(0) = 0,
¯
T
0
k
(0) = 0, (33)
то есть для определения
¯
T
k
(t) мы получили задачу Коши (32), (33) для
обыкновенного дифференциальнго уравнения (32). Решив эту задачу,
получим
¯
T
k
(t) =
2P r
2
0
T
0
µ
3
k
J
1
(µ
k
)
(cos
aµ
k
t
r
0
− 1). (34)
По
дставляя
(34) в (30), получим решение задачи. Задачу можно ре-
шить и другим способом, если воспользоваться замечанием к занятию
13. Будем искать решение задачи в виде
U(r, t) = V (r, t) + W (r),
где W (r) удовлетворяет (27), (29), то есть задаче
W
00
(r) +
1
r
W
0
(r)
+
P
T
0
=
0, (35)
W (
r
0
) = 0, W (0) = O(1) (36)
129
                                             ∞
                                             X
                             U (r, t) =            T̄k (t)Rk (r),       (30)
                                             k=1
где Rk (r) = J0 ( µr0k r) - собственные функции задачи о собственных зна-
чениях (7), (8), к которой приводится решение соответствующего од-
нородного уравнения (20) при условиях (29). Собственные значения
λk = ( µrok )2 , k ∈ N, µk - корни уравнения (11).
      Предположим, что ряд (30) сходится равномерно и допускает
двукратное дифференцирование по r и t, тогда (30) удовлетворяет (29)
за счет выбора Rk (r). Определим T̄k (t) так, чтобы (30) удовлетворял
(27) и (28). Подставляя (30) в (27), получим
                 ∞
                 X                                             P a2
                        [T̄k00 (t)       2
                                     + a λk T̄k (t)]Rk (r) = −      ,   (31)
                                                                T0
                 k=1

при этом мы учли, что Rk (r) является решением уравнения (7). Та-
ким образом, мы пришли к задаче разложения заданной функции
              2
F (r) = − PTa0 в ряд Фурье-Бесселя. (31) будет выполняться, если

                                                     2P a2
                T̄k00       2
                        + a λk T̄k = Ak , Ak = −               ,        (32)
                                                 T0 J1 (µk )µk
причем для вычисления Ak мы использовали формулу (48) занятия
18. Подставляя (30) в (28), получим
                                T̄k (0) = 0, T̄k0 (0) = 0,              (33)
то есть для определения T̄k (t) мы получили задачу Коши (32), (33) для
обыкновенного дифференциальнго уравнения (32). Решив эту задачу,
получим
                                2P r02           aµk t
                  T̄k (t) =                 (cos       − 1).      (34)
                            T0 µ3k J1 (µk )       r0
Подставляя (34) в (30), получим решение задачи. Задачу можно ре-
шить и другим способом, если воспользоваться замечанием к занятию
13. Будем искать решение задачи в виде

                             U (r, t) = V (r, t) + W (r),
где W (r) удовлетворяет (27), (29), то есть задаче
                                     1          P
                           W 00 (r) + W 0 (r) +    = 0,                 (35)
                                     r          T0
                            W (r0 ) = 0, W (0) = O(1)                   (36)


                                              129

Страницы