Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ψ(r)
= b
0
+
∞
X
k=1
µ
k
a
r
0
b
k
J
0
(
µ
k
r
r
0
). (26)
Ряды
(25), (26)
представляют собой разложение заданных функций
ϕ(r), ψ(r) по функциям Бесселя J
0
(
µ
k
r
0
r) в
интервале [0,
r
0
]. Но такого
рода разложения нами отмечались ранее (см. формулу (32) занятия
18, причем здесь мы имеем тот случай, когда α = ν = 0.) Применив
к рассматриваемому случаю формулы (33), (34) и (38) занятия 18,
найдем значения коэффициентов a
k
, b
k
, а именно:
a
0
=
2
r
2
0
r
0
Z
0
r
ϕ(r)
dr, a
k
=
2
r
2
0
J
2
0
(µ
k
)
r
0
Z
0
r
ϕ(r)
J
0
(
µ
k
r
0
r)dr
,
b
0
=
2
r
2
0
r
0
Z
0
r
ψ(r)
dr,
b
k
=
2
ar
0
µ
k
J
2
0
(µ
k
)
r
0
Z
0
r
ψ(r)
J
0
(
µ
k
r
0
r)dr
.
19.4. Круглая
однородная мембрана радиуса r
0
, закрепленная
по контуру, находится в состоянии равновесия при натяжении T
0
. В
момент времени t = 0 к мембране приложено нормальное давление
P ≡ const на единицу площади. Показать, что колебание точек мем-
браны определяется выражением:
U(r, t) =
p
T
0
[
1
4
(r
2
0
− r
2
) − 2r
2
0
∞
X
k=1
J
0
(
µ
k
r
0
r)
µ
3
k
J
1
(µ
k
)
cos
aµ
k
r
0
t],
г
де µ
1
, µ
2
,
...- положительные корни уравнения J
0
(x) = 0.
Р е ш е н и е. Задача приводится к интегрированию уравнения
U
rr
+
1
r
U
r
−
1
a
2
U
tt
= −
P
T
0
, 0 <
r <
r
0
, t > 0 (27)
относительно функции U(r, t) при условиях
U(r, 0) = 0, U
t
(r, 0) = 0, (28)
U(r
0
, t) = 0, U(0, t) = O(1) . (29)
Так как уравнение (27) неоднородно, то для решения этой задачи при-
меним метод собственных функций (см. занятие 13), то есть будем
искать решение задачи в виде ряда
128
                                       ∞
                                       X µk a                       µk r
                        ψ(r) = b0 +                       bk J0 (        ).                (26)
                                                     r0              r0
                                       k=1
Ряды (25), (26) представляют собой разложение заданных функций
ϕ(r), ψ(r) по функциям Бесселя J0 ( µr0k r) в интервале [0, r0 ]. Но такого
рода разложения нами отмечались ранее (см. формулу (32) занятия
18, причем здесь мы имеем тот случай, когда α = ν = 0.) Применив
к рассматриваемому случаю формулы (33), (34) и (38) занятия 18,
найдем значения коэффициентов ak , bk , а именно:

                  Zr0                                        Zr0
              2                           2                                     µk
         a0 = 2         rϕ(r)dr, ak = 2 2                           rϕ(r)J0 (      r)dr,
             r0                      r0 J0 (µk )                                r0
                  0                                           0

                                           Zr0
                                     2
                              b0 =                 rψ(r)dr,
                                     r02
                                           0
                                               Zr0
                              2                                      µk
                  bk =                               rψ(r)J0 (          r)dr.
                       ar0 µk J02 (µk )                              r0
                                               0


     19.4. Круглая однородная мембрана радиуса r0 , закрепленная
по контуру, находится в состоянии равновесия при натяжении T0 . В
момент времени t = 0 к мембране приложено нормальное давление
P ≡ const на единицу площади. Показать, что колебание точек мем-
браны определяется выражением:

                    p 1 2     2      2
                                       ∞
                                       X  J0 ( µr0k r)     aµk
          U (r, t) = [ (r0 − r ) − 2r0                 cos     t],
                    T0 4                 µ3k J1 (µk )       r0
                                                      k=1

где µ1 , µ2 , ...- положительные корни уравнения J0 (x) = 0.
      Р е ш е н и е. Задача приводится к интегрированию уравнения
                   1     1        P
              Urr + Ur − 2 Utt = − , 0 < r < r0 , t > 0                                    (27)
                   r    a         T0
относительно функции U (r, t) при условиях

                           U (r, 0) = 0, Ut (r, 0) = 0,                                    (28)
                         U (r0 , t) = 0, U (0, t) = O(1).                                  (29)
Так как уравнение (27) неоднородно, то для решения этой задачи при-
меним метод собственных функций (см. занятие 13), то есть будем
искать решение задачи в виде ряда

                                           128

Страницы